Числа Лішрел або проблема 196

Візьмемо число. Переставимо його цифри в зворотному порядку, отримаємо ще одне число. Тепер додамо ці два числа. Чи є сума паліндромом (числом, що читається з кінця так само, як з початку)? Якщо ні, переставимо цифри суми і повторимо процес. Будемо продовжувати операції перестановки цифр і додавання до тих пір, поки не отримаємо паліндром. Більшість чисел стають паліндромами дуже швидко, за декілька ітерацій. Візьмемо, наприклад, число 153; потрібно всього дві ітерації.

Ітерація Число Перестановка Сума

1 153 + 351 = 504

2 504 + 405 = 909 

Однак деякі числа не стають паліндромами незалежно від того, скільки зроблено ітерацій записування цифр у зворотному порядку і додавання. Такі числа називаються числами Лішрел. Вони були названі так Уейдом Ван Ландінгхемом (Wade Van Landingham;  Лішрел - приблизна анаграма імені його подруги Шеріл). Перше число, яке може бути числом Лішрел - 196. Однак немає доказів, що це число, а також числа схожі на нього, такі як 879 і 1997 справді є числами Лішрел. Просто процедура перестановки-додавання  для них не привела до отримання паліндрома, хоча було зроблено близько мільярда ітерацій.

А що станеться, якщо замість суми двох чисел брати їх різницю?

Подивимося на прикладі числа 196.

Ітерація Число Перестановка Різниця 

1 196 - 691 = -495

2 -495 - -594 = 99

3 99 - 99 = 0

Будь-які подальші ітерації будуть давати тільки нульові значення.

Зауважимо, що нулі, якістоять на початку, не враховуються. Наприклад, 594 - 495 = 99, а не 099. Кількість цифр не повинна зберігатися протягом всієї процедури, як і для чисел Лішрел важливо тільки чисельне значення.

Всі одно-, дво- і тризначні числа зводяться до нуля. Перше число, яке варто розглядати - число 1012.

Ітерація Число Перестановка Різниця 

1 1012 - 2101 = -1089

2 -1089 - -9801 = 8712

3 8712 - 2178 = 6534

4 6534 - 4356 = 2178

5 2178 - 8712 = -6534

6 -6534 - -4356 = -2178

7 -2178 - -8712 = 6534

Зверніть увагу на різницю при третій ітерації (вона виділена жирним). Вона знову з'являється на чотири рядки нижче як різниця в сьомій ітерації. Будь-які подальші перестановки цифр і віднімання будуть просто повторювати попередні чотири рядки.

Здається, що це відбувається кожен раз при повторенні процедури перестановки цифр - віднімання: або виходить нуль, або в кінцевому підсумку циклічно повторюється один і той же набір чисел. Майкл Гріні (Michael Patrick Greaney) застосував процедуру перестановки - віднімання до всіх чисел від одного до 10 мільярдів і до частини з 10,1 мільярда 18-значних чисел. Результати показали, що для всіх з цих 20,1 млрд. чисел процес завжди закінчується або нулем, або кінцевим циклом. Залишається зрозуміти, чи буде це виконуватися для всіх чисел.

Наслідуючи приклад Уейда Ван Ландінгхема, Гріні назвав числа, для яких процес закінчується в кінці циклом, числами Яріам (Eriam) на ім'я його дружини Марії (Máire).

Періоди циклу (через скільки ітерацій числа починають повторюватися, для 1012 період дорівнює чотирьом) наступні: 1 число (нуль), 4, 12, 14, 17 або 44 числа. Більш короткі періоди зустрічаються частіше, ніж довші; майже 94 % всіх перевірених чисел мали періоди один або чотири. Клаус Брокхаус перевірив випадкову вибірку чисел довжиною до 50 цифр і не знайшов інших періодів, крім наведених тут. Можливо, інші періоди існують, але поки не знайдені.

Періоди, наведені там, рівні 2 і 22, а не 4 і 44. Це пов'язано з тим, що замість значень різниць беруться їх абсолютні значення. Решта періодів залишаються незмінними.

Результати також показали, що рівно половина всіх чисел до 1516730 має кінцевий цикл, що складається з нуля. З чисел більших за 1,516,730 більше половини мали цикли довжини чотири або більше.

Рейтинг:5 з 5

На основі відгуків 4 користувачів

Автор: Тетяна К.

Редакція не несе відповідальності за наповнення блогів, вони є персональною думкою автора

Потрібен репетитор?

Обирай кращих викладачів на сервісі Букі!

Інші статті викладача

Реєструйся репетитором на BUKI!

Безкоштовна реєстрація за 10 хвилин

Заняття персонально чи по Skype

Оплата напряму від учня

Також читайте розділ «Блоги репетиторів»:

Секретні методи вивчення іноземної мови

У цій статті ми розглянемо три секретних методи, які можуть допомогти вам засвоїти нову мову швидше та ефективніше. Стаття вміщує посилання на платформи та вебсайти, які вам допоможуть в цьому.

Автор: Христина Я.

Як досягти тонкої талії?

Тонка талія: міфи та реальність

Автор: Анастасія Ш.

Цукрозамінники

Переваги та недоліки

Автор: Анастасія Ш.

Відпочинок від тренувань

Правильно організований відпочинок допомагає зберегти і покращити результати тренувань

Автор: Анастасія Ш.

Verben mit Präpositionen у німецькій мові у німецькій мові. Дружній путівник для початківців

Сьогодні ми поговоримо про один із важливих аспектів німецької мови - Verben mit Präpositionen (дієслова з прийменниками).

Автор: Ярослав Т.

Зв'язок між гормонами та тренуваннями

Важливість фізичної активності для підтримки гормонального балансу та загального здоров'я.

Автор: Анастасія Ш.

Інші новини:

;