Дробова частина числа на фіналі всеукраїнської олімпіади-2023 з математики

На початку квітня відбувся завершальний етап всеукраїнської олімпіади з математики. На олімпіадах високого рівня є чимало авторських задач, що заслуговують на увагу. Обговоримо задачі про дробову частину числа, що пропонувались учням на цій олімпіаді.

Восьмикласники на всеукраїнській олімпіаді розв’язували таку задачу:

Доведення можна провести від супротивного. Припустимо, що обидві нерівності з умови задачі виконуються і при цьому x<y або x>y. Оскільки, задана в умові задачі система нерівностей не змінюється, якщо х замінити на у, а у замінити на х, то нам достатньо розглянути лише один з випадків, наприклад, коли x<y. Якщо ми у випадку x<y прийдемо до суперечності, то до суперечності ми прийшли б і у випадку, коли x>y. Тому нехай x<y. Оскільки, x>0, то √у̅²̅+̅2̅х >y. Оскільки, дробова частина числа √у̅²̅+̅2̅х більша за 2/3 та √у̅²̅+̅2̅х >y та у є N, то √у̅²̅+̅2̅х >y+2/3, звідки у²+2х>у²+(4/3)у+4/9, звідки 2х>(4/3)у+4/9, звідки 2х>(4/3)у, звідки х>(2/3)у. Оскільки x<y та х, у є N, то х+1≤у, то х²+2у≥ х²+2х+2> х²+2х+1=(х+1)². Отже, (х+1)²<х²+2у, звідки х+1<√х̅²̅+̅2̅у. Оскільки, дробова частина числа √х̅²̅+̅2̅у більша за 2/3 та √х̅²̅+̅2̅у>х+1 та х є N, то √х̅²̅+̅2̅у >х+1+2/3, звідки х²+2у >(х+1+2/3)²= х²+(10/3)х+25/9, звідки 2у >(10/3)х+25/9, звідки 2у >(10/3)х, звідки у>(5/3)х. Оскільки, у>(5/3)х та х>(2/3)у, то почленно помноживши ці нерівності, отримаємо: ху>(5/3)х(2/3)у= (10/9)ху, звідки 1>10/9. Прийшли до суперечності. Твердження задачі доведено від супротивного.

Дев’ятикласникам пропонувалось розв’язати таку задачу:

Оскільки, х≠у, то є два можливі випадки: коли x>y та коли x<y. Оскільки, задана в умові задачі нерівність не зміниться, якщо х замінити на у, а у замінити на х, то нам достатньо розглянути лише один з випадків, наприклад, коли x<y. Тому надалі розглядатимемо випадок, коли x<y.

Припустимо, що для деякого додатного дійсного числа М<1 при деяких різних натуральних х та у (x<y) виконуються такі дві нерівності: {√х̅²̅+̅2̅у} ≥М та {√у̅²̅+̅2̅х} ≥М. Оскільки, x>0, то √у̅²̅+̅2̅х >y. Оскільки, дробова частина числа √у̅²̅+̅2̅х не менша за М (0<М<1) та √у̅²̅+̅2̅х >y та у є N, то √у̅²̅+̅2̅х ≥y+M, звідки у²+2х≥у²+2Му+М², звідки 2х≥2Му+М², звідки 2х>2Му, звідки х>Му. Оскільки x<y та х, у є N, то х+1≤у, то х²+2у≥ х²+2х+2> х²+2х+1=(х+1)². Отже, (х+1)²<х²+2у, звідки х+1<√х̅²̅+̅2̅у. Оскільки, дробова частина числа √х̅²̅+̅2̅у не менша за М (0<М<1) та √х̅²̅+̅2̅у>х+1 та х є N, то √х̅²̅+̅2̅у ≥х+1+М, звідки х²+2у ≥(х+1+М)²= х²+2(М+1)х+(М+1)², звідки 2у≥2(М+1)х+(М+1)², звідки 2у>2(М+1)х, звідки у>(М+1)х. Оскільки, у>(М+1)х та х>Му, то почленно помноживши ці нерівності, отримаємо: ху>М(М+1)ху, звідки 1>М(М+1). Неважко переконатись, що якщо М≥(–1+√5)/2, то нерівність 1>М(М+1) не виконується (адже тоді М(М+1)≥(–1+√5)(1+√5)/4=1). Тому, якщо М≥(–1+√5)/2, то при жодних різних натуральних х та у не можуть одночасно виконуватись нерівності {√х̅²̅+̅2̅у} ≥М та {√у̅²̅+̅2̅х} ≥М. Тому, якщо М≥(–1+√5)/2, то при довільних різних натуральних х та у хоча б одне з чисел {√х̅²̅+̅2̅у} чи {√у̅²̅+̅2̅х} є меншим за М. Тому, якщо М≥(–1+√5)/2, то при довільних різних натуральних х, у виконується нерівність min{{√х̅²̅+̅2̅у}; {√у̅²̅+̅2̅х} }<М. Отже, якщо в якості числа С з умови задачі обрати число С=(–1+√5)/2, то при цьому виконуватимуться всі умови задачі. Залишилось довести, що в якості числа С не можна обрати жодне число менше за (–1+√5)/2.

З цією метою покажемо, що для довільного додатного дійсного числа Т<(–1+√5)/2 існують такі різні натуральні числа х та у (x<y), що одночасно виконуються нерівності {√х̅²̅+̅2̅у} >T та {√у̅²̅+̅2̅х} >Т. Надалі використовуватимемо позначення С=(–1+√5)/2. Будемо користуватись тим, що (С+1)=1/С. Нехай х=[3/(С–Т)]+1, y=[(C+1)x]. Тоді х та у – натуральні та х>3/(С–Т). При цьому Сх>3С/(С–Т)>3, а тому y=[(C+1)x]=[Cx+x]>[3+x]>x, тобто числа х та у – різні натуральні і x<y. Покажемо, що якщо Т<(–1+√5)/2, х=[3/(С–Т)]+1, y=[(C+1)x], то {√х̅²̅+̅2̅у} >T та {√у̅²̅+̅2̅х} >Т. Оскільки, y=[(C+1)x], то у>(C+1)x–1, то 2у>2(C+1)x–2, то 2у–2х(Т+1)>2(C+1)x–2–2х(Т+1)=2х(С–Т)–2. Оскільки, х>3/(С–Т) та 2у–2х(Т+1)>2х(С–Т)–2, то 2у–2х(Т+1)>2(С–Т)∙3/(С–Т) –2=6–2=4=2²>(T+1)². Оскільки, 2у–2х(Т+1)>(T+1)², то 2у>2х(Т+1)+(T+1)², то х²+2у>х²+2х(Т+1)+(T+1)²=(х+Т+1)². Отже, √х̅²̅+̅2̅у >х+Т+1. Оскільки, y=[(C+1)x], то у≤(С+1)х, то х²+2у≤ х²+2(С+1)х< х²+2(С+1)х+(С+1)²=(х+С+1)²<(х+2)². Отже, √х̅²̅+̅2̅у <х+2. Оскільки, х+Т+1<√х̅²̅+̅2̅у <х+2 та х є N, то {√х̅²̅+̅2̅у} >T. Залишилось довести, що {√у̅²̅+̅2̅х} >Т.

Оскільки, y=[(C+1)x], то у≤(С+1)х, то –2Ту≥–2Т(С+1)х, то 2х–2Ту≥2х–2Т(С+1)х=2х(1–Т(С+1))=2х(1–Т/С)=2х(С–Т)/С>2х(С–Т). Оскільки, 2х–2Ту>2х(С–Т) та х>3/(С–Т) (див. вище), то 2х–2Ту>2х(С–Т)> 2(С–Т)∙3/(С–Т)=6>Т². Оскільки, 2х–2Ту>Т², то 2х>Т²+2Ту, то у²+2х>Т²+2Ту+у²=(у+Т)², звідки √у̅²̅+̅2̅х >у+Т. Оскільки, х<у, то у²+2х<у²+2у< у²+2у+1<(у+1)², звідки √у̅²̅+̅2̅х<у+1. Оскільки, у+Т<√у̅²̅+̅2̅х<у+1 та у є N, то {√у̅²̅+̅2̅х} >Т. Доведення завершено. Найменше С, що задовольняє умову задачі, дорівнює (–1+√5)/2.

Рейтинг:5 з 5

На основі відгуків 1 користувачів

Автор: Віталій Ф.

Редакція не несе відповідальності за наповнення блогів, вони є персональною думкою автора

Потрібен репетитор?

Обирай кращих викладачів на сервісі Букі!

Інші статті викладача

Реєструйся репетитором на BUKI!

Безкоштовна реєстрація за 10 хвилин

Заняття персонально чи по Skype

Оплата напряму від учня

Також читайте розділ «Блоги репетиторів»:

Секретні методи вивчення іноземної мови

У цій статті ми розглянемо три секретних методи, які можуть допомогти вам засвоїти нову мову швидше та ефективніше. Стаття вміщує посилання на платформи та вебсайти, які вам допоможуть в цьому.

Автор: Христина Я.

Як досягти тонкої талії?

Тонка талія: міфи та реальність

Автор: Анастасія Ш.

Цукрозамінники

Переваги та недоліки

Автор: Анастасія Ш.

Відпочинок від тренувань

Правильно організований відпочинок допомагає зберегти і покращити результати тренувань

Автор: Анастасія Ш.

Verben mit Präpositionen у німецькій мові у німецькій мові. Дружній путівник для початківців

Сьогодні ми поговоримо про один із важливих аспектів німецької мови - Verben mit Präpositionen (дієслова з прийменниками).

Автор: Ярослав Т.

Зв'язок між гормонами та тренуваннями

Важливість фізичної активності для підтримки гормонального балансу та загального здоров'я.

Автор: Анастасія Ш.

Інші новини:

;