Лінійка та нічого крім лінійки. Задачі на побудову.

У шкільному курсі математики є чимало задач на побудову за допомогою циркуля та лінійки, але не приділяється увага геометричним побудовам, у яких дозволено використовувати лише односторонню лінійку. Своєю чергою, задачі на побудову за допомогою однієї лише лінійки трапляються на математичних олімпіадах та турнірах. Розглянемо кілька таких типових задач.

Нехай на площині задано паралельні прямі а та b та точку М, що не належить жодній з них. Необхідно за допомогою лише односторонньої лінійки провести через точку М пряму паралельну до прямих а та b.

Відмітимо довільні точки А та В на прямій а та довільну точку С на прямій b. Проведемо пряму АС. Через точку В проведемо довільну пряму c, яка перетинається з прямою АС та з прямою b. Нехай D – точка перетину прямих с та b, а K – точка перетину прямих с та АС. Проводимо пряму СМ. Через точку D проводимо довільну пряму, яка перетинає пряму СМ у деякій точці Р. Будуємо пряму РК. Нехай Т – точка перетину прямих АМ та КР. Проводимо пряму ВТ. Нехай S – точка перетину прямих DP та BT. Тоді пряма MS паралельна прямим а та b.

Доведення того, що прямі МS та а паралельні, ґрунтується на теоремі Дезарга, яку можна сформулювати так: Нехай трикутники А₁В₁С₁ та А₂В₂С₂ такі, що прямі А₁В₁ та А₂В₂ перетинаються у деякій точці Е₁, прямі А₁С₁ та А₂С₂ перетинаються у деякій точці Е₂, прямі В₁С₁ та В₂С₂ перетинаються у деякій точці Е₃. Якщо прямі А₁А₂ та В₁В₂ паралельні, а точки Е₁, Е₂ та Е₃ лежать на одній прямій, то прямі С₁С₂ та А₁А₂також паралельні. У нашій же задачі в якості трикутників А₁В₁С₁ та А₂В₂С₂ виступають трикутники АСМ та ВDS відповідно.

За допомогою однієї лінійки можна побудувати пряму паралельну до заданої і в тому випадку, коли відомою є середина деякого відрізка заданої прямої. Нехай на площині задано відрізок АВ, його середину М та точку Р, яка не лежить на прямій АВ. Покажемо як через точку Р провести пряму паралельну до прямої АВ.

Будуємо прямі АР та ВР. Через точку М проводимо довільну пряму, яка перетинає прямі АР та ВР, але не проходить ні через точку Р, ні через точку А. Нехай ця пряма перетне прямі АР та ВР у точках К та L відповідно. Проводимо прямі АL та ВК. Нехай N – точка перетину прямих АL та ВК. Тоді пряма РN паралельна прямій АВ (спробуйте довести це самостійно).

Трапляються також задачі на поділ відрізка навпіл. Наприклад, нехай на площині задані дві паралельні прямі а та b, а на прямій b задано відрізок АВ. Необхідно за допомогою лінійки побудувати середину відрізка АВ. З цією метою відмітимо довільну точку М, яка не лежить на жодній із заданих прямих та проведемо прямі АМ та ВМ. Нехай прямі АМ та ВМ перетинають пряму а в точках С та D відповідно. Тоді АВСD – трапеція. Нехай P – точка перетину прямих АD та ВС. Побудуємо пряму РМ. Нехай E – точка перетину прямої b з прямою РМ. Тоді Е – середина відрізка АВ. Це випливає із добре відомого факту про трапецію, згідно з яким на одній прямій лежать середини основ трапеції, точка перетину діагоналей трапеції та точка перетину продовжень бокових сторін трапеції.

За допомогою лише лінійки не так вже й просто, навіть, подвоїти заданий відрізок. Нехай на площині задано дві паралельні прямі а та b, а на прямій b задано відрізок АВ, який необхідно подвоїти. На прямій а відмітимо дві довільні точки С та D та описаним вище способом побудуємо точку Р – середину відрізка СD. Нехай М – точка перетину прямих АР та ВD, а N – точка перетину прямих СМ та АВ. Можна довести, що BN=2AB.

Існує й низка інших задач на побудову за допомогою однієї лише лінійки, наприклад, задача про поділ на n рівних частин відрізка, що лежить на одній з двох паралельних прямих, задача про проведення через задану точку перпендикуляра до діаметра кола (коло і його діаметр задані), тощо.

Рейтинг:5 з 5

На основі відгуків 1 користувачів

Автор: Віталій Ф.

Редакція не несе відповідальності за наповнення блогів, вони є персональною думкою автора

Потрібен репетитор?

Обирай кращих викладачів на сервісі Букі!

Інші статті викладача

Реєструйся репетитором на BUKI!

Безкоштовна реєстрація за 10 хвилин

Заняття персонально чи по Skype

Оплата напряму від учня

Також читайте розділ «Блоги репетиторів»:

8 принципів роботи мовленнєвого терапевта (логопеда) в роботі із СДУГ, РАС, дислексія

Оскільки все більше з’являються запити на роботу із дітьми із СДУГ/РАС/дислексією тощо, в роботі спеціалісти логопеди повинні знати та використовувати принципи підтримки нейрорізноманіття.

Автор: Юлія К.

Схема хімічної реакції є, а з коефіцієнтами повне розчарування?

Перетворимо схему хімічної реакції з відомими продуктами, додавши відповідні коефіціенти

Автор: Анна Г.

Вивчати мову в мовному середовищі чи ні: проблеми з якими можна стикнутися

В статті розглядаються найпоширеніші труднощі, з якими стикаються новачки, які переїжджають в іншу країну з бажанням вивчити мову

Автор: Карина К.

Ефективна підготовка до TOEFL: ключові кроки

Ключові стратегії у підготовці до міжнародного іспиту TOEFL iBT

Автор: Світлана К.

What's the difference between BIG and LARGE, SMALL and LITTLE?

В англійській мові є два прикметника маленький та великий. В цій статті описується загальне правило вживання цих прикметників та їх відмінності.

Автор: Світлана Д.

Інші новини:

Вивчаємо синтаксис: розбираємо речення за членами й робимо його синтаксичний розбір

Вивчаємо синтаксис: розбираємо речення за членами й робимо його синтаксичний розбір

11.02.2024

Готуємося до весняних свят: привітання і сценарії для 8 березня в школі

Готуємося до весняних свят: привітання і сценарії для 8 березня в школі

09.02.2024

Цікаві позакласні заходи до Дня народження Тараса Шевченка

Цікаві позакласні заходи до Дня народження Тараса Шевченка

01.02.2024

Як вступити на дизайн в 2024 році

Як вступити на дизайн в 2024 році

31.01.2024

;