Міжпредметні зв’язки геометрії та астрономії або як урізноманітнити уроки геометрії

Як урізноманітнити уроки геометрії, щоб цікаво було учням?

Раніше я вже писав про те як за допомогою нескладних математичних міркувань древньогрецький математик Ератосфен виміряв радіус Землі. Учням може видатись цікавим той факт, що древньогрецький математик Аристарх виміряв також радіуси Сонця та Місяця.

Землю, Сонце та Місяць вважатимемо кулями з центрами в точках Z, S та M відповідно. Нехай ρ – радіус Землі, R – радіус Сонця, r – радіус Місяця, а=ZМ, b=ZS.

Під час повного сонячного затемнення Місяць майже повністю покриває Сонце.

Тому подібними будуть трикутники ZAS та ZBM.

Тоді r/R=a/b.

Інша важлива здогадка Аристарха стосувалася фаз Місяця. Місяць на небі ми можемо бачити у різних фазах, а саме в певні дні ми можемо з Землі бачити Місяць як освітлений круг, в інші дні можна бачити Місяць як освітлений півкруг, тощо. Нас же цікавить той випадок, коли з Землі можна бачити Місяць як освітлений півкруг. Таку фазу Місяця в астрономії називають «чвертю».

Місяць світиться завдяки сонячному світлу, що відбивається від нього. Оскільки, Місяць є кулею, то Сонце завжди освітлює рівно половину поверхні Місяця (інша половина кулі знаходиться в тіні). Отже, коли із Землі видно Місяць у «чверті», то в цей час Місяць повинен бути повернений до Землі так, щоб із Землі було видно половину його освітленої Сонцем поверхні та половину темної в даний момент його поверхні. Чудова здогадка Аристарха полягала в тому, що в описаний момент часу (коли фаза «чверть») прямим є кут SMZ.

Позначимо кут SZM грецькою буквою α. Тоді cos α=ZM/ZS=a/b. Таким чином, ми вже знаємо, що a/b=cos α та r/R=cos α. Своєю чергою, кут α можна виміряти, наприклад, раннім ранком, коли на небі можна одночасно спостерігати Місяць та Сонце (цей кут дорівнює куту, під яким із Землі видно відрізок, що сполучає центри Місяця та Сонця). Тому можна встановити, що cos α ≈ 1/400.

Як можна бачити, кут α близький до 90º, а тому на практиці через похибки буде важко встановити точне значення косинуса цього кута. На жаль, Аристарх допустився значних похибок і в нього вийшло, що cos α=1/19, тобто він помилився більш, ніж у 20 разів. Тим не менше, Аристарх послуговувався правильним методом.

Отже, ми вже знаємо, що a/b ≈1/k та r/R ≈ 1/k, де k=400. Що далі? Аристарх звернув увагу на місячні затемнення та виміряв число n, яке дорівнює відношенню радіуса тіні, яку Земля відкидає на Місяць під час місячних затемнень, до радіуса Місяця. У Аристарха вийшло, що n=2. Але насправді n=8/3. Нехай L – радіус тіні, яку Земля відкидає на Місяць під час місячного затемнення. Тоді n= L/r. На рисунку МС=L.

З подібності трикутників DBZ та DAS маємо, що DZ / DS= ρ/R. Оскільки ж, DS=DZ+b, то знайдемо, що DZ=bρ/(R–ρ). З подібності трикутників ZBD та СМD матимемо, що СD / DZ=L/ρ. Тоді СD=bL/(R–ρ). Крім цього DМ=DZ–а= bρ/(R–ρ)–а. За теоремою Піфагора, для трикутника СМD матимемо: СD² = СМ² + DМ². Тоді ( bL/(R–ρ) )²= L²+( bρ/(R–ρ) – а )², звідки L² ( b²/(R–ρ)²–1)= ( bρ/(R–ρ) – а )². Врахувавши, що відстань b від Землі до Сонця значно більша за (R–ρ), отримаємо, що b²/(R–ρ)²–1≈ b²/(R–ρ)² і тоді L ≈ ( ρ(а+b)–аR )/b. Оскільки ж, b/а=k, L/r=n, то отримаємо, що nr = (ρ(k+1)–R)/k. А оскільки, R/r=k, то nr = (ρ(k+1)–kr)/k, звідки r = ρ(1+1/k)/(n+1), R = ρ(k+1)/(n+1).

Отже, знаючи радіус Землі ρ та описаним вище способом визначивши, що k=400, n=8/3, можна визначити радіус Місяця r та радіус Сонця R за формулами r = ρ(1+1/k)/(n+1), R = ρ(k+1)/(n+1). Зауважимо, що Аристарху був відомий радіус Землі, оскільки раніше його визначив Ератосфен.

Рейтинг:5 з 5

На основі відгуків 1 користувачів

Автор: Віталій Ф.

Редакція не несе відповідальності за наповнення блогів, вони є персональною думкою автора

Потрібен репетитор?

Обирай кращих викладачів на сервісі Букі!

Інші статті викладача

Реєструйся репетитором на BUKI!

Безкоштовна реєстрація за 10 хвилин

Заняття персонально чи по Skype

Оплата напряму від учня

Також читайте розділ «Блоги репетиторів»:

Лексичні помилки на ЗНО: Підготовка та запам'ятовування

З цими практичними порадами та стратегіями ви зможете ефективно вивчити лексику та підготуватися до успішного складання ЗНО з української мови.

Автор: Ірина З.

Різниця між синтезатором, акустичним піаніно та MIDI- клавіатурою

Перед тим, як почати займатися фортепіано, дуже багато учнів хочуть придбати інструмент, але не знають різницю між ними і просять допомоги при виборі. Тому хочу трохи обговорити цю тему.

Автор: Юлія А.

Як відрізнити Present Simple від Present Continuous, якщо Ви початківець?

Допомога в розумінв англійської граматики для початківців.

Автор: Юліанна С.

Логопедичні кейси

У даній статті представлено два логопедичні кейси, в яких описано роботу з клієнтами з мовленнєвими порушеннями.

Автор: Марина К.

Чи після 1 заняття з логопедом мовлення буде чітким?

Стаття про прогнозування результату 1 заняття та про те чи потрібно дотримуватися послідовності постановки звуків.

Автор: Марина К.

Інші новини:

Творення і відмінювання прізвищ, імен по батькові в українській мові

Творення і відмінювання прізвищ, імен по батькові в українській мові

01.03.2024

Вчимося рахувати швидко: що таке ментальна арифметика

Вчимося рахувати швидко: що таке ментальна арифметика

28.02.2024

Вивчаємо речення, які ускладнені вставними словами: правопис вставних конструкцій

Вивчаємо речення, які ускладнені вставними словами: правопис вставних конструкцій

27.02.2024

Відмінювання слів в українській мові: важливі відомості про кличний відмінок

Відмінювання слів в українській мові: важливі відомості про кличний відмінок

20.02.2024

;