Як урізноманітнити уроки геометрії, щоб цікаво було учням?
Раніше я вже писав про те як за допомогою нескладних математичних міркувань древньогрецький математик Ератосфен виміряв радіус Землі. Учням може видатись цікавим той факт, що древньогрецький математик Аристарх виміряв також радіуси Сонця та Місяця.
Землю, Сонце та Місяць вважатимемо кулями з центрами в точках Z, S та M відповідно. Нехай ρ – радіус Землі, R – радіус Сонця, r – радіус Місяця, а=ZМ, b=ZS.
Під час повного сонячного затемнення Місяць майже повністю покриває Сонце.
Тому подібними будуть трикутники ZAS та ZBM.
Тоді r/R=a/b.
Інша важлива здогадка Аристарха стосувалася фаз Місяця. Місяць на небі ми можемо бачити у різних фазах, а саме в певні дні ми можемо з Землі бачити Місяць як освітлений круг, в інші дні можна бачити Місяць як освітлений півкруг, тощо. Нас же цікавить той випадок, коли з Землі можна бачити Місяць як освітлений півкруг. Таку фазу Місяця в астрономії називають «чвертю».
Місяць світиться завдяки сонячному світлу, що відбивається від нього. Оскільки, Місяць є кулею, то Сонце завжди освітлює рівно половину поверхні Місяця (інша половина кулі знаходиться в тіні). Отже, коли із Землі видно Місяць у «чверті», то в цей час Місяць повинен бути повернений до Землі так, щоб із Землі було видно половину його освітленої Сонцем поверхні та половину темної в даний момент його поверхні. Чудова здогадка Аристарха полягала в тому, що в описаний момент часу (коли фаза «чверть») прямим є кут SMZ.
Позначимо кут SZM грецькою буквою α. Тоді cos α=ZM/ZS=a/b. Таким чином, ми вже знаємо, що a/b=cos α та r/R=cos α. Своєю чергою, кут α можна виміряти, наприклад, раннім ранком, коли на небі можна одночасно спостерігати Місяць та Сонце (цей кут дорівнює куту, під яким із Землі видно відрізок, що сполучає центри Місяця та Сонця). Тому можна встановити, що cos α ≈ 1/400.
Як можна бачити, кут α близький до 90º, а тому на практиці через похибки буде важко встановити точне значення косинуса цього кута. На жаль, Аристарх допустився значних похибок і в нього вийшло, що cos α=1/19, тобто він помилився більш, ніж у 20 разів. Тим не менше, Аристарх послуговувався правильним методом.
Отже, ми вже знаємо, що a/b ≈1/k та r/R ≈ 1/k, де k=400. Що далі? Аристарх звернув увагу на місячні затемнення та виміряв число n, яке дорівнює відношенню радіуса тіні, яку Земля відкидає на Місяць під час місячних затемнень, до радіуса Місяця. У Аристарха вийшло, що n=2. Але насправді n=8/3. Нехай L – радіус тіні, яку Земля відкидає на Місяць під час місячного затемнення. Тоді n= L/r. На рисунку МС=L.
З подібності трикутників DBZ та DAS маємо, що DZ / DS= ρ/R. Оскільки ж, DS=DZ+b, то знайдемо, що DZ=bρ/(R–ρ). З подібності трикутників ZBD та СМD матимемо, що СD / DZ=L/ρ. Тоді СD=bL/(R–ρ). Крім цього DМ=DZ–а= bρ/(R–ρ)–а. За теоремою Піфагора, для трикутника СМD матимемо: СD² = СМ² + DМ². Тоді ( bL/(R–ρ) )²= L²+( bρ/(R–ρ) – а )², звідки L² ( b²/(R–ρ)²–1)= ( bρ/(R–ρ) – а )². Врахувавши, що відстань b від Землі до Сонця значно більша за (R–ρ), отримаємо, що b²/(R–ρ)²–1≈ b²/(R–ρ)² і тоді L ≈ ( ρ(а+b)–аR )/b. Оскільки ж, b/а=k, L/r=n, то отримаємо, що nr = (ρ(k+1)–R)/k. А оскільки, R/r=k, то nr = (ρ(k+1)–kr)/k, звідки r = ρ(1+1/k)/(n+1), R = ρ(k+1)/(n+1).
Отже, знаючи радіус Землі ρ та описаним вище способом визначивши, що k=400, n=8/3, можна визначити радіус Місяця r та радіус Сонця R за формулами r = ρ(1+1/k)/(n+1), R = ρ(k+1)/(n+1). Зауважимо, що Аристарху був відомий радіус Землі, оскільки раніше його визначив Ератосфен.