У липні відбулась додаткова сесія ЗНО з математики, у якій взяли участь учні, котрі з поважних причин пропустили основну сесію. Попри наявність на додатковій сесії ЗНО великої кількості умовно простих задач, деякі завдання можна віднести до «заплутаних», тобто до завдань, які або передбачають дещо громіздкі розв’язки або ж мають «заплутану» умову, тобто потребують ретельного аналізу самої умови задачі чи розуміння умов яких може ускладнюватися, якщо учень не має деяких знань з певних нематематичних галузей (наприклад, якщо учень вперше чує транспортний термін «заїзна кишеня» у задачі №16 чи не знає суті енергетичної цінності харчових продуктів – задача №21). Обговорювати останні згадані задачі не станемо, оскільки, в принципі, їхні умови можна зрозуміти і без спеціальних знань з інших галузей, а обговоримо лише найбільш «заплутану» задачу. «Заплутаною» вона є й тому, що певні недоліки у відповіді до неї допустив, навіть, Український центр оцінювання якості освіти (УЦОЯО) в офіційних відповідях до задач, але про це згодом...
Доволі громіздке розв’язання передбачає система рівнянь з параметром.
Введемо нову змінну t:
Тоді рівняння заданої системи набудуть вигляду: ах²+ах+3t=27 та х+t=8.
Якщо а=0, то 3t=27 та х+t=8, звідки t=9 та х=8–t= 8–9=–1. Тоді 1+у²=2, звідки у=±1. Тому при а=0 матимемо розв’язки (–1; 1) та (–1; –1).
Надалі розглядатимемо випадок, коли а≠0. З другого рівняння системи матимемо, що t=8–х. Тоді її перше рівняння набуде вигляду: ах²+ах+24–3х=27, звідки ах²+(а–3)х–3=0. Оскільки, а≠0, то це рівняння є квадратним. Дискримінант D=(а–3)²+12а = а²–6а+9+12а = а²+6а+9 = (а+3)². Тоді х₁= (–(а–3)+(а+3))/(2а) =3/а, х₂= (–(а–3)–(а+3))/(2а) = –1. Якщо х=–1, то t=8–х=9 і тоді 1+у²=2, звідки у=±1. Тому маємо розв’язки (–1; 1) та (–1; –1). Отже, задана система рівнянь має розв’язки (–1; 1) та (–1; –1) при довільному дійсному а (як при а=0, так і при а≠0).
Якщо х=3/а, то t= 8–3/а= (8а–3)/а. Повинна виконуватись нерівність (8а–3)/а>0. Якщо (8а–3)/а>0, то 1+у²=log₃((8а–3)/а), звідки у²=log₃((8а–3)/а)–1. Тому повинна також виконуватись нерівність log₃((8а–3)/а)–1 ≥0, що рівносильно (8а–3)/а≥3, звідки (5а–3)/а≥0. Остання нерівність виконується тоді і тільки тоді, коли а є (–∞; 0)U[0,6; +∞). До того ж, якщо а=0,6, то у²=0, звідки у=0, а тому задана система рівнянь матиме розв’язок (3/а; 0). Якщо ж а є (–∞; 0)U(0,6; +∞), то тоді log₃(8/3–1/а) = log₃((8а–3)/а)–log₃3= log₃((8а–3)/а)–1>0 і тому у=±√̅lo̅g̅₃̅(̅8̅/̅3̅–̅1̅/̅а̅), а тому матимемо розв’язки (3/а; √̅lo̅g̅₃̅(̅8̅/̅3̅–̅1̅/̅а̅) ) та (3/а; –√̅lo̅g̅₃̅(̅8̅/̅3̅–̅1̅/̅а̅) ). Зауважимо також, що якщо а=–3, то розв’язки (3/а; √̅lo̅g̅₃̅(̅8̅/̅3̅–̅1̅/̅а̅) ) та (3/а; –√̅lo̅g̅₃̅(̅8̅/̅3̅–̅1̅/̅а̅)) перетворюються на розв’язки (–1; 1) та (–1; –1) відповідно.
Отже, якщо а є [0; 0,6)U{–3}, то є два розв’язки(–1; 1) та (–1; –1). Якщо а=0,6, то є три розв’язки (–1; 1), (–1; –1) та (3/а; 0). Якщо а є (–∞; –3)U(–3; 0)U(0,6; +∞), то є чотири розв’язки (–1; 1), (–1; –1), (3/а; √̅lo̅g̅₃̅(̅8̅/̅3̅–̅1̅/̅а̅)) та (3/а; –√̅lo̅g̅₃̅(̅8̅/̅3̅–̅1̅/̅а̅)).
До цієї задачі УЦОЯО дав дещо іншу офіційну відповідь, а саме:
Чисто формально, УЦОЯО не зробив помилки, подавши відповідь у такій формі. Однак, в УЦОЯО, по-перше, не врахували того, що якщо а=0,6, то однаковими є розв’язки (3/а; √̅lo̅g̅₃̅(̅8̅/̅3̅–̅1̅/̅а̅) ) та (3/а; –√̅lo̅g̅₃̅(̅8̅/̅3̅–̅1̅/̅а̅) ), бо тоді √̅lo̅g̅₃̅(̅8̅/̅3̅–̅1̅/̅а̅)=0. По-друге, вони не врахували того, що якщо а=–3, то розв’язки (3/а; √̅lo̅g̅₃̅(̅8̅/̅3̅–̅1̅/̅а̅) ) та (3/а; –√̅lo̅g̅₃̅(̅8̅/̅3̅–̅1̅/̅а̅) ) співпадають з розв’язками (–1; 1) та (–1; –1) відповідно, бо тоді √̅lo̅g̅₃̅(̅8̅/̅3̅–̅1̅/̅а̅) =1 та 3/а=–1.
