Найскладніша алгебраїчна задача міжнародної математичної олімпіади-2021

Рейтинг:
Детальніше»Всі блоги користувача

 

 

Нехай q₁=|a|/(|a|+|b|), q₂=|b|/(|a|+|b|), де a≠0, b≠0. Тоді q₁>0, q₂>0 та q₁+q₂=1. Нехай f(x)= √x. Тоді функція f(x) угнута в усій області визначення. Оскільки ( |b|/(|a|+|b|) )‧(х–|a|) + ( |а|/(|a|+|b|) )‧(х+|b|) = х та ( |b|/(|a|+|b|) )‧(х+|a|) + ( |а|/(|a|+|b|) )‧(х–|b|) = х, то якщо х>|а| та х>|b|, то згідно з нерівністю Єнсена, ( |b|/(|a|+|b|) )‧√̅х̅–̅|̅a|̅ + ( |а|/(|a|+|b|) )‧√̅х̅+̅|̅b|̅ ≤ √x та ( |b|/(|a|+|b|) )‧√̅х̅+̅|̅a|̅ + ( |а|/(|a|+|b|) )‧ √̅х̅–̅|̅b|̅ ≤ √x. Останні дві нерівності позначимо (☼).

При n=1 задана нерівність набуває вигляду √|̅2̅х̅₁̅| ≥ 0 і, очевидно, що виконується.

При n=2 нерівність з умови задачі набуває вигляду √|̅2̅х̅₁̅| + √|̅2̅х̅₂| + 2√|̅х̅₁̅+̅х̅₂̅| ≥ 2√|̅х̅₁̅–̅х̅₂̅|. Щоб довести останню нерівність, не втрачаючи загальності, вважатимемо, що |х₂|≥|х₁|. Тоді √|̅2̅х̅₁̅| + √|̅2̅х̅₂| + 2√|̅х̅₁̅+̅х̅₂̅| ≥ 2√|̅2̅х̅₁̅| + 2√|̅х̅₁̅+̅х̅₂̅| ≥ 2√|̅2̅х̅₁̅|̅+̅|̅х̅₁̅+̅х̅₂̅| (в силу того, що √̅х̅ + √̅у̅ ≥ √̅х̅+̅у̅ ). Але |2х₁|+|х₁+х₂| = |–2х₁|+|х₁+х₂| ≥ |–2х₁+х₁+х₂| = |х₁­–х₂|. Тоді √|̅2̅х̅₁̅| + √|̅2̅х̅₂| + 2√|̅х̅₁̅+̅х̅₂̅| ≥ 2√|̅2̅х̅₁̅|̅+̅|̅х̅₁̅+̅х̅₂̅| ≥ 2√|̅х̅₁̅–̅х̅₂̅|. Отже, при n=2 нерівність з умови задачі також виконується.

Задану нерівність доводитимемо методом індукції. Нехай вона виконується, коли в ній є n–2 дійсних чисел хᵢ (1≤ і ≤n–2, n≥3). 

Є два можливі випадки: І) коли існують такі і та j (1≤ і ≤n, 1≤ j ≤n), що xᵢ+xⱼ=0; ІІ) коли |xᵢ+xⱼ|>0 для всіх і та j (1≤ і ≤n, 1≤ j ≤n).

І) Нехай існують такі і та j (1≤ і ≤n, 1≤ j ≤n), що xᵢ+xⱼ=0. Не втрачаючи загальності, нехай x₁+x₂=0. Тоді нерівність з умови задачі набуває вигляду: √|̅2̅х̅₁̅| + √|̅2̅х̅₂| + 2√|̅х̅₁̅+̅х̅₂̅| + ( ∑₍ᵢ₌₃..ₙ₎∑₍ⱼ₌₃..ₙ₎ √|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅| ) + 2∑₍ᵢ₌₃..ₙ₎ (√|̅xᵢ̅+̅x₁̅| + √|̅xᵢ̅+̅x₂̅| ) ≥ 2√|̅х̅₁̅–̅х̅₂̅| + ( ∑₍ᵢ₌₃..ₙ₎∑₍ⱼ₌₃..ₙ₎ √|̅xᵢ̅–̅xⱼ̅| ) + 2∑₍ᵢ₌₃..ₙ₎ (√|̅xᵢ̅–̅x₁̅| + √|̅xᵢ̅–̅x₂̅| ). Оскільки, x₁=–x₂, то √|̅2̅х̅₁̅| + √|̅2̅х̅₂| + 2√|̅х̅₁̅+̅х̅₂̅| = 2√|̅х̅₁̅–̅х̅₂̅| та √|̅xᵢ̅+̅x₁̅| + √|̅xᵢ̅+̅x₂̅| = √|̅xᵢ̅–̅x₁̅| + √|̅xᵢ̅–̅x₂̅| і тому задана в умові задачі нерівність у цьому випадку рівносильна такій нерівності: ∑₍ᵢ₌₃..ₙ₎∑₍ⱼ₌₃..ₙ₎ √|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅| ≥ ∑₍ᵢ₌₃..ₙ₎∑₍ⱼ₌₃..ₙ₎ √|̅xᵢ̅–̅xⱼ̅| . Остання ж нерівність виконується за припущенням індукції.

ІІ) Нехай |xᵢ+xⱼ|>0 для всіх і та j (1≤ і ≤n, 1≤ j ≤n). Розглянемо підвипадки: 1) коли всі суми xᵢ+xⱼ додатні; 2) коли всі суми xᵢ+xⱼ від’ємні; 3) коли серед сум xᵢ+xⱼ є як додатні, так і від’ємні суми.

1) Нехай всі суми xᵢ+xⱼ додатні. Нехай а=min{xᵢ+xⱼ}>0. Заміна уᵢ=xᵢ­–а/2 для всіх і=1,2,…, n. Тоді min{уᵢ+уⱼ}=0. Тоді ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅xᵢ̅–̅xⱼ̅| = ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅уᵢ̅–̅уⱼ̅| та ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅| ≥ ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √̅xᵢ̅+̅xⱼ̅–̅а̅ = ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅уᵢ̅+̅уⱼ̅| . Довести ж нерівність ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅уᵢ̅+̅уⱼ̅| ≥ ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅уᵢ̅–̅уⱼ̅| можна аналогічно до доведення пункту І.

2) Нехай всі суми xᵢ+xⱼ від’ємні. Нехай b=max{xᵢ+xⱼ}<0. Заміна zᵢ=xᵢ­–b/2 для всіх і=1,2,…, n. Тоді max{zᵢ+zⱼ}=0. Тоді ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅xᵢ̅–̅xⱼ̅| = ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅zᵢ̅–̅zⱼ̅| та ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅| = ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √̅–̅xᵢ̅–̅xⱼ̅ ≥ ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √̅–̅xᵢ̅–̅xⱼ̅+̅b = ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅zᵢ̅+̅zⱼ̅| . Довести ж нерівність ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅zᵢ̅+̅zⱼ̅| ≥ ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅zᵢ̅–̅zⱼ̅| можна аналогічно до доведення пункту І

3) Нехай серед сум xᵢ+xⱼ є як додатні, так і від’ємні суми і при цьому |xᵢ+xⱼ|>0 для всіх і та j. Нехай найменша додатна сума xᵢ+xⱼ дорівнює а>0, а найбільша від’ємна сума дорівнює b<0. Заміна уᵢ=xᵢ­–а/2 та zᵢ=xᵢ­–b/2 для всіх і=1,2,…, n. Тоді min{|уᵢ+уⱼ|}=0 та min{|zᵢ+zⱼ|}=0.

Якщо xᵢ+xⱼ>0, то |уᵢ+уⱼ|= xᵢ+xⱼ–а= |xᵢ+xⱼ|–|а| та |zᵢ+zⱼ|= xᵢ+xⱼ–b = |xᵢ+xⱼ|+|b|. Якщо ж xᵢ+xⱼ<0, то |уᵢ+уⱼ|= а–xᵢ–xⱼ= |xᵢ+xⱼ|+|а| та |zᵢ+zⱼ|= b–xᵢ–xⱼ = |xᵢ+xⱼ|–|b|.

Символом ⅀ꜛ позначатимемо сумування по всіх таких парах (i,j), для яких xᵢ+xⱼ>0; а символом ⅀ꜜ – сумування по всіх таких парах (i,j), для яких xᵢ+xⱼ<0. 

Тоді ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅уᵢ̅+̅уⱼ̅| =⅀ꜛ√|̅уᵢ̅+̅уⱼ̅| + ⅀ꜜ√|̅уᵢ̅+̅уⱼ̅| =⅀ꜛ√̅|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅|̅–̅|̅а̅|+ ⅀ꜜ√̅|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅|̅+̅|̅а̅| та ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅zᵢ̅+̅zⱼ̅| = ⅀ꜛ√|̅zᵢ̅+̅zⱼ̅| + ⅀ꜜ√|̅zᵢ̅+̅zⱼ̅| = ⅀ꜛ√̅|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅|̅+̅|̅b|̅ + ⅀ꜜ√̅|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅|̅–̅|̅b|̅ . Помноживши останню рівність на |а|/(|а|+|b|), а передостанню – на |b|/(|а|+|b|), та потім додавши отримані рівності, матимемо: (|b|/(|а|+|b|))‧∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅уᵢ̅+̅уⱼ̅| + (|а|/(|а|+|b|))‧∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅zᵢ̅+̅zⱼ̅| = ⅀ꜛ( (|b|/(|а|+|b|))‧√̅|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅|̅–̅|̅а̅|+ (|а|/(|а|+|b|))‧√̅|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅|̅+̅|̅b|̅ ) + ⅀ꜜ( (|b|/(|а|+|b|))‧√̅|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅|̅+̅|̅а̅| + (|а|/(|а|+|b|))‧√̅|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅|̅–̅|̅b|̅ ) ≤ ⅀ꜛ√̅|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅| + ⅀ꜜ√̅|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅|. Остання нерівність виконується в силу (☼). Але ⅀ꜛ√̅|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅| + ⅀ꜜ√̅|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅| = ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √̅|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅|. Отже, ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √̅|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅| ≥ (|b|/(|а|+|b|))‧∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅уᵢ̅+̅уⱼ̅| + (|а|/(|а|+|b|))‧∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅zᵢ̅+̅zⱼ̅|.

Оскільки, min{|уᵢ+уⱼ|}=0 та min{|zᵢ+zⱼ|}=0, то по індукції, аналогічно до доведення в пункті І, можна довести, що (|b|/(|а|+|b|))‧∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅уᵢ̅+̅уⱼ̅| + (|а|/(|а|+|b|))‧∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅zᵢ̅+̅zⱼ̅| ≥ (|b|/(|а|+|b|))‧∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅уᵢ̅–̅уⱼ̅| + (|а|/(|а|+|b|))‧∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅zᵢ̅–̅zⱼ̅| = (|b|/(|а|+|b|))‧∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅xᵢ̅–̅xⱼ̅| + (|а|/(|а|+|b|))‧∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅xᵢ̅–̅xⱼ̅| = ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅xᵢ̅–̅xⱼ̅|. Отже, ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √̅|̅xᵢ̅+̅xⱼ̅| ≥ ∑₍ᵢ₌₁..ₙ₎∑₍ⱼ₌₁..ₙ₎ √|̅xᵢ̅–̅xⱼ̅|.

Рейтинг:5 з 5

На основі відгуків 4 користувачів

Автор: Віталій Ф.

Редакція не несе відповідальності за наповнення блогів, вони є персональною думкою автора

Потрібен репетитор?

Обирай кращих викладачів на сервісі Букі!

Інші статті викладача

Реєструйся репетитором на BUKI!

Безкоштовна реєстрація за 10 хвилин

Заняття персонально чи по Skype

Оплата напряму від учня

Також читайте розділ «Блоги репетиторів»:

Пам’ятка для читачів німецькомовних текстів

Декілька порад для тих, хто вивчає німецьку мову і стикається з труднощами під час роботи з текстом.

Автор: Ольга П.

Гендерні відмінності у тренуваннях: особливості та рекомендації

Розуміння цих відмінностей може допомогти створити більш ефективні та індивідуалізовані програми тренувань для обох статей.

Автор: Анастасія Ш.

Інтеграція математики з іншими предметами: міждисциплінарні проєкти

Стаття досліджує інтеграцію математики з іншими предметами через міждисциплінарні проєкти, показуючи, як такий підхід розвиває критичне мислення, мотивацію та креативність учнів.

Автор: Вадим П.

Мови програмування

Як вірно, та з чого розпочати, можна собі сказати, або говорити доволі часто.

Автор: Андрій Б.

Здоров'я мозку та біохакінг

Програми для покращення когнітивного, емоційного, фізичного та психологічного здоров'я.

Автор: Наталія Д.

Фітнес-подорожі: поєднання відпочинку і тренувань

У цій статті ми розглянемо, що таке фітнес-подорожі, їх переваги, популярні напрямки та типи програм.

Автор: Наталія Д.

Інші новини:

;