Похідні та фізика (в контексті підготовки до ЗНО та олімпіад)

У 10-му класі на уроках математики учні вивчають похідні. У блозі поговоримо про те чи потрібно (і якщо так, то на якому рівні) володіти диференціальним численням при підготовці до ЗНО та олімпіад з фізики.

Чимало фізичних формул, що вивчаються у шкільному курсі фізики, можна записати через похідні. Приміром, проекція швидкості є похідною координати по часу υₓ=dx/dt, проекція прискорення – похідною проекції швидкості aₓ=dυₓ/dt, ЕРС електромагнітної індукції  – похідною магнітого потоку ε=–dФ/dt, тощо.

Нехай учень розв’язує задачу такого змісту: «Координата матеріальної точки змінюється з часом за законом x=5–8t+3t². Як змінюється з часом проекція її швидкості?». Типовий метод розв’язання такої задачі полягає у тому, щоб спочатку визначити значення проекції початкової швидкості та проекції прискорення матеріальної точки, а потім вже записати відповідне рівняння. Однак учень, який володіє диференціальним численням, може розв’язати цю задачу альтернативним методом, просто обчисливши похідну: υₓ=dx/dt=–8+6t. Хоча в цьому випадку можна обійтись і без похідних.

Практично неможливо (чи принаймні важко) обійтись без похідних під час вивчення електромагнітних коливань. Розглянемо ідеальний коливальний контур, що складається з котушки індуктивністю L та конденсатора ємністю С. Запам’ятати шляхом «зазубрювання» всі формули, що стосуються коливань у такому контурі, доволі важко. Однак ці формули можна легко вивести за допомогою похідних, знаючи, що сила струму у контурі є похідною заряду конденсатора I=dq/dt, а ЕРС самоіндукції визначається через похідну сили струму ε=–LdI/dt.

Нехай заряд на конденсаторі змінюється з часом за законом q=Q sin(ωt+φ₀), де Q – амплітуда заряду конденсатора, ω – циклічна частота електромагнітних коливань, φ₀ – початкова фаза коливань. Тоді I=dq/dt=ωQ cos(ωt+φ₀), ε=–LdI/dt= Lω²Q sin(ωt+φ₀). Звідси, зокрема, видно чому амплітуда сили струму в коливальному контурі дорівнює ωQ.

Знання похідних також надає змогу більш глибше зрозуміти принцип роботи генератора змінного струму, а саме чому циклічна частота змінного струму дорівнює кутовій швидкості ротора генератора. Нехай рамка, що складається з N витків площею S кожен, обертається зі сталою кутовою швидкістю ω в однорідному магнітному полі з індукцією В. Якщо в початковий момент часу площина рамки перпендикулярна до ліній індукції магнітного поля, то в довільний момент часу t магнітний потік крізь кожен виток рамки дорівнює Ф=ВS сos(ωt). Таким чином, у рамці виникає ЕРС індукції ε=–NdФ/dt= NВSω sin(ωt).

Отже, з одного боку володіння диференціальним численням може спростити підготовку до ЗНО з фізики, а з іншого боку можна успішно здати ЗНО і не знаючи похідних. Зовсім інша справа з підготовкою до фізичних олімпіад високого рівня (IV-го етапу всеукраїнських та міжнародних) – там без похідних ніяк. Приміром, у 2018 році на IV-му етапі всеукраїнської олімпіади з фізики в 11 класі була модельна задача такого змісту:

Вже із самої умови задачі видно, що необхідно, як мінімум, володіти диференціальним численням. Скажу більше: задача зводиться до того, щоб записати та розв’язати лінійну однорідну систему диференціальних рівнянь. Тобто на всеукраїнських олімпіадах з фізики слід володіти не лише диференціальним та інтегральним численням, але й мати навики розв’язання диференціальних рівнянь та їх систем.

Знання похідних стануть у нагоді і на олімпіадах з фізики нижчого рівня, зокрема, на обласних, наприклад, у тих випадках, коли задача зводиться до дослідження деякої функції на максимум (мінімум).

Рейтинг:5 з 5

На основі відгуків 1 користувачів

Автор: Віталій Ф.

Редакція не несе відповідальності за наповнення блогів, вони є персональною думкою автора

Потрібен репетитор?

Обирай кращих викладачів на сервісі Букі!

Інші статті викладача

Реєструйся репетитором на BUKI!

Безкоштовна реєстрація за 10 хвилин

Заняття персонально чи по Skype

Оплата напряму від учня

Також читайте розділ «Блоги репетиторів»:

Пам’ятка для читачів німецькомовних текстів

Декілька порад для тих, хто вивчає німецьку мову і стикається з труднощами під час роботи з текстом.

Автор: Ольга П.

Гендерні відмінності у тренуваннях: особливості та рекомендації

Розуміння цих відмінностей може допомогти створити більш ефективні та індивідуалізовані програми тренувань для обох статей.

Автор: Анастасія Ш.

Інтеграція математики з іншими предметами: міждисциплінарні проєкти

Стаття досліджує інтеграцію математики з іншими предметами через міждисциплінарні проєкти, показуючи, як такий підхід розвиває критичне мислення, мотивацію та креативність учнів.

Автор: Вадим П.

Мови програмування

Як вірно, та з чого розпочати, можна собі сказати, або говорити доволі часто.

Автор: Андрій Б.

Здоров'я мозку та біохакінг

Програми для покращення когнітивного, емоційного, фізичного та психологічного здоров'я.

Автор: Наталія Д.

Фітнес-подорожі: поєднання відпочинку і тренувань

У цій статті ми розглянемо, що таке фітнес-подорожі, їх переваги, популярні напрямки та типи програм.

Автор: Наталія Д.

Інші новини:

;