Почнемо з того, що якщо математичні олімпіади є змаганнями учасників за особисту першість, де кожен сам за себе, то математичні турніри є командною грою. У математичних турнірах беруть участь команди від окремих шкіл чи міст і змагаються з іншими командами за першість своєї команди. Але як це виглядає на практиці, наприклад, на турнірі юних математиків (ТЮМі)?
Задачі з математики, які будуть "розігруватись" на завершальному етапі всеукраїнського ТЮМу, команди-учасники отримують заздалегідь – приблизно за півроку до проведення турніру. Ці задачі журі турніру розміщує у відкритому доступі на своєму сайті.
"Але ж тоді вчителі можуть просто розв'язати задачі своїм учням", – можливо, подумали ви. Навряд чи, адже на турнірі юних математиків є й такі задачі, які і не кожному професору під силу.
"Але ж як тоді їх учням розв'язати?", – мабуть, подумали ви. Так же ж півроку дається на їх розв'язання. Умовний "професор" не через брак знань не може розв'язати якусь задачу, а через відсутність бажання витрачати купу часу, адже ці задачі є такими, що потребують тривалої праці над ними.
І це одна з головних відмінностей задач на математичних турнірах від олімпіадних задач. Задачі, які пропонуються на олімпіадах, розраховані на те, що їх реально розв'язати в доволі обмеженому часі. А задачі з математичних турнірів, зазвичай, потребують тривалого наукового пошуку і цим нагадують працю вчених над науковими проблемами.
До того ж, навіть, якщо хтось і розв'яже певні задачі своїм учням, то захищати ці розв'язки все одно доведеться учням. На ТЮМ по кожній розв'язаній задачі учні готують презентації та доповідають їх розв'язки. Також кожній команді призначається команда-опонент, яка задає питання і дискутує щодо задач.
Водночас, під час підготовки до математичного турніру учням дозволяється користуватися літературою, шукати розв'язки схожих задач в інтернеті, наукових статтях, тощо. На математичних турнірах задачі здебільшого дослідницького характеру, а будь-яке дослідження потребує як часу, так і, можливо, опрацювання літератури. Зокрема високо оцінюється журі, якщо учні не просто розв'язали задачу, але ще й провели додаткові дослідження чи узагальнили умову задачі, розглянувши більш широкий клас математичних об'єктів, що досліджуються в рамках задачі.
Щоб було зрозумілішим що ж це за такі задачі дослідницького характеру, ось, для прикладу одна з таких задач, що недавно пропонувалась на всеукраїнському ТЮМі. Умова задачі:
Тобто нам дозволяється за допомогою однієї лише лінійки побудувати не більше, ніж 12 прямих, а потім по цих прямих треба розрізати паралелограм на п'ять многокутників однакової площі. Щоб розв'язати таку задачу (особливо, коли мова йде не про 12, а про 10 прямих), треба перепробувати чимало варіантів або ж спробувати знайти в інтернеті якісь допоміжні факти.
Наприклад, в процесі дослідження можна встановити наступний допоміжний факт. Якщо K, L, M, N – середини сторін AB, BC, CD, DA відповідно паралелограма ABCD, а точки T, O, R, W визначаються перетинами прямих, як показано на рисунку нижче, то многокутники BCO, CRD, ABT, DAW, WTOR мають рівні площі (площа кожного з них в п'ятеро менша за площу паралелограма ABCD). Доводиться цей факт не складно (спробуйте самостійно це довести). Значно важче здогадатись до цього – потрібне дослідження.
Але це ще далеко не кінець розв'язку, а лише пів справи. Ще треба "придумати" як за допомогою однієї лише лінійки побудувати не більше, ніж 12 прямих так, щоб серед цих прямих були прямі AL, BM, CN та DK, по яких ми зможемо розрізати наш паралелограм на п'ять рівновеликих частин.
Можливою є така побудова:
1. Продовжуємо пряму АВ за точку В і на цьому промені вибираємо довільну точку Р.
2. Проводимо пряму РD. Нехай Х – точка перетину прямих РD та ВС.
3. Проводимо пряму АХ.
4. Проводимо пряму ВD. Нехай Y – точка перетину прямих АХ та ВD.
5. Проводимо пряму РY. Нехай N – точка перетину прямих РY та АD. Доведіть самостійно, що N – середина АD.
6. Проводимо пряму АС. Нехай Е – точка перетину прямих АС та ВD.
7. Проводимо пряму NЕ. Нехай L – точка перетину прямих NЕ та ВС. Доведіть самостійно, що L – середина ВС.
8. Проводимо пряму СN. Нехай Z – точка перетину прямих СN та ВD.
9. Проводимо пряму АZ. Нехай М – точка перетину прямих АZ та СD. Доведіть самостійно, що М – середина СD.
10. Нехай Q – точка перетину прямих АZ та NL. Проводимо пряму DQ. Нехай К – точка перетину прямих DQ та АВ. Доведіть самостійно, що К – середина АВ.
11. Проводимо пряму ВМ.
12. Проводимо пряму АL.
І це наразі лише побудова для пункту а) задачі.
Отже, як готуватись до математичних турнірів? Насамперед слід розв'язати якомога більше із запропонованих журі задач. Всі задачі розв'язувати не обов'язково, оскільки на турнірі у вас буде можливість робити "тактичні та довічні відмови" без втрати балів. За можливості варто провести додаткові дослідження чи узагальнити розв'язані задачі. По-друге, слід підготувати презентації та добре продумати виступ. Також варто спробувати передбачити, які питання вам можуть поставити опоненти та продумати відповіді на них. А також слід скласти орієнтовний список питань, які ви ставитимете опонентам.
