Функціональне рівняння на фіналі всеукраїнської олімпіади-2023 з математики

Функціональні рівняння є досить поширеними на олімпіадах з математики різного рівня. Не стала винятком і цьогорічна всеукраїнська олімпіада, завершальний четвертий етап якої проходив у перший тиждень квітня. Тому під час підготовки до олімпіад варто звернути увагу на тему функціональних рівнянь та методів їх розв’язання.

Одинадцятикласники на IV-му етапі всеукраїнської олімпіади-2023 розв’язували таке функціональне рівняння:

Підставивши в це рівняння х=у=0, отримаємо: f(0)=2f(0), звідки f(0)=0. Тепер підставимо в нього х=0. Матимемо, що f(yf(y))=f(y²)+f(0), звідки f(yf(y))=f(y²). Останню рівність позначимо (1). Тепер у рівняння з умови задачі підставимо у= –х і отримаємо: f(x–xf(0))=f(x²)+xf(–x)+f(x), звідки f(x)=f(x²)+xf(–x)+f(x), звідки f(x²)= –xf(–x). Замінимо в останньому рівнянні х на –х і отримаємо: f(x²)=xf(x). Позначимо останнє рівняння (2). Оскільки, f(x²)= –xf(–x) та f(x²)=xf(x), то xf(x)= –xf(–x), звідки х(f(x)+f(–x))=0. Отже, якщо х≠0, то f(x)+f(–x)=0. При х=0 остання рівність також виконується, бо f(0)=0. Отже, для довільного дійсного х: f(–x)= –f(x). У рівнянні з умови задачі замінимо у на –у і отримаємо: f(x–yf(x–y))=f(y²)+xf(–y)+f(x). Враховуючи те, що f(x–y)= – f(у–х) та f(–y)= –f(y), останнє рівняння набуде вигляду f(x+yf(у–х))=f(y²)–xf(y)+f(x). Від рівняння з умови задачі почленно віднімемо останнє рівняння і отримаємо: f(x+yf(у+х)) – f(x+yf(у–х))=2xf(y). Позначимо останнє рівняння (3).

Припустимо, що існує таке дійсне с≠0, що f(c)=0. У рівняння з умови задачі підставимо у=с–х і отримаємо: f(x+(с–х)f(с))=f((с–х)²)+xf(с–х)+f(x), звідки f(x)=f((с–х)²)+xf(с–х)+f(x), звідки f((с–х)²)= –xf(с–х). Але, згідно з (2), f((с–х)²)= (с–x)f(с–х). Тому в цьому випадку –xf(с–х)=(с–x)f(с–х), звідки сf(с–х)=0, а оскільки, с≠0, то f(с–х)=0. При цьому вираз с–х може набувати довільних дійсних значень. Отже, якщо існує дійсне с≠0 таке, що f(c)=0, то ми отримуємо функцію, яка є тотожним нулем: f(х)=0 при всіх дійсних х.

Залишилось розглянути випадок, коли f(х)≠0 при всіх дійсних х≠0. У цьому випадку, якщо для деякого дійсного с виконується рівність f(с)=0, то з цього випливає, що с=0. Доведемо, що з того, що x≠y, випливає, що f(x)≠ f(y). Для цього припустимо супротивне, а саме, що існують дійсні числа а та b такі, що а≠b, але при цьому f(а)=f(b). Тоді у рівняння (3) підставимо х=(a–b)/2, y=(a+b)/2 і отримаємо: f(0,5a–0,5b+0,5(a+b)f(а)) – f(0,5a–0,5b+0,5(a+b)f(b))=(a–b)f(0,5a+0,5b). Оскільки, згідно з припущенням f(а)=f(b), то 0,5a–0,5b+0,5(a+b)f(а)= 0,5a–0,5b+0,5(a+b)f(b) і тоді f(0,5a–0,5b+0,5(a+b)f(а)) – f(0,5a–0,5b+0,5(a+b)f(b))=0, з чого випливає, що (a–b)f(0,5a+0,5b)=0, а оскільки а≠b, то f(0,5a+0,5b)=0. Оскільки, ж наша функція набуває нульового значення лише в точці х=0, то з рівності f(0,5a+0,5b)=0 випливає, що 0,5a+0,5b=0, звідки а= –b. Оскільки, а= –b, то f(a)=f(–b). Але, за припущенням, f(а)=f(b). Оскільки, f(а)=f(b) та f(a)=f(–b), то f(b)=f(–b). Але вище ми показали, що для довільного дійсного х: f(–x)= –f(x). Тому f(–b)= –f(b). Оскільки, f(–b)= –f(b) та f(b)=f(–b), то f(b)= –f(b), звідки 2f(b)=0, звідки f(b)=0, звідки b=0 (бо ми розглядаємо випадок, коли f(х)≠0 при всіх дійсних х≠0). Оскільки, b=0 та, за припущенням, f(а)=f(b), то f(а)=0, звідки а=0. Отже, а=b=0. Прийшли до суперечності, бо згідно з припущенням, а≠b. Таким чином, твердження доведено від супротивного. Отже, з того, що x≠y, випливає, що f(x)≠ f(y). Тоді на основі рівності (1) f(yf(y))=f(y²) отримаємо, що yf(y)=y² для довільного дійсного у. Тоді, якщо у≠0, то f(y)=y. Остання рівність виконується і тоді, коли у=0, що було показано вище.

Підводячи підсумки, ми знайшли дві функції – перша є тотожним нулем f(х)=0, а друга – f(х)=х при всіх дійсних х. Неважко переконатись, що обидві ці функції задовольняють умову задачі.

Рейтинг:5 из 5

На основе отзывов 1 пользователей

Автор: Віталій Ф.

Редакция не несет ответственности за наполнение блогов, они есть персональным мнением автора

Нужен репетитор?

Выбирай лучших преподавателей на сервисе Буки!

Другие статьи преподавателя

Регистрируйся как репетитор на BUKI!

Бесплатная регистрация за 10 минут

Занятия персонально или по Skype

Оплата напрямую от ученика

Также читайте раздел «Блоги репетиторов»:

Поради щодо вивчення англійської мови

Кожен новий учень ставить мені одне й те саме запитання: «Як вивчити мову? Начебто вчимо, а результату немає». Або, таке запитання: «А коли я вивчу мову?» Отже поговоремо про "Як", "Коли" і "Навіщо".

Автор: Анна С.

Поради як писати тексти будь-які тексти німецькою?

Писання німецькою мовою може бути викликом для тих, хто вивчає німецьку. Однак за допомогою правильних технік та хорошої структури можна писати тексти без великих труднощів.

Автор: Nathalie A.

Тренування босоніж або в шкарпетках

Вибір між тренуванням босоніж або в носках залежить від ваших індивідуальних потреб, типу вправ і умов тренувального середовища.

Автор: Наталія Ф.

Ключ до здоров'я та енергії

Зарядка: шлях до здоров'я та енергії. Корисні вправи та альтернативи для бадьорості та готовності до нового дня.

Автор: Анісія П.

Фітнес з домашніми тваринами

Поєднання здорового способу життя з активністю вашого улюбленця

Автор: Наталія Ф.

Фітнес у стилі DIY: власноруч створені тренувальні обладнання та аксесуари

Автор: Наталія Ф.

Другие новости:

;