В момент написання цієї статті бакалаври (і, сподіваюсь, вже незабаром магістри) здають тест загальної навчальної компетентності (ТЗНК), який перевіряє здатності студентів логічно мислити, адекватно сприймати й обробляти інформацію тощо. Серед іншого цей тест містить блок, який перевіряє аналітичне мислення студентів. Інакше кажучи, це є математичний блок, проте завдання в ньому доволі специфічні й зазвичай суттєво відрізняються від математики, що вивчається як в школі, так і в університеті. Сьогодні ми розглянемо один з типів завдання, що періодично зустрічається в цьому блоці, приділивши увагу практичній частині, якої, на жаль, у відкритому доступі не так багато. Отже, почнімо!
Уявімо собі авдиторію, у якій розташовано шість парт. Якщо до цієї авдиторії запросити сім студентів, то принаймні за однією партою сидітимуть два студенти. Логічно, чи не так? А насправді ж описана ситуація є основою доволі вважливого математичного твердження, сформульованого німецьким математиком Петером Діріхле, яке знаходить своє застосування зокрема в інформатиці та математичному аналізі. Проте на ТЗНК задачі на цей принцип даються на рівні описаної авдиторії зі студентами.
Розглянемо задачу з демо-версії ТЗНК 2024 року (див. https://zno.osvita.ua/master/tznpk/566/). Умова її така:
Мандрівник Дорожко, готуючись вирушити в чергову подорож Ірдинськими болотами, замовив у постачальника 5 кг карамелі: горіхової – 1,4 кг, желейної – 1 кг, лікерної – 0,6 кг, медової – 1 кг, фруктово-ягідної – 0,5 кг і шоколадної – 0,5 кг. Карамель кожного найменування він розфасував по 100 грамів в однакові герметичні пакети. Однак напередодні подорожі Дорожко вирішив, що така велика кількість солодощів може не найкращим чином вплинути на його здоров’я, то ж вирішив узяти із собою лише частину заздалегідь підготовленого. Оскільки ж усі пакети мали однаковісінький вигляд, а найменування сорту карамелі на них не було вказано, то в мандрівника виникла проблема з вибором: пакети довелося обирати навмання. Яку найменшу кількість пакетів потрібно взяти мандрівникові, щоб серед них обов’язково виявилося хоча б по 100 г карамелі кожного найменування?
Для успішного розв’язання такої задачі рекомендується завжди вважати, що нам (або в даному випадку Дорожко) весь час не щастить, і він дістає не те, що треба. Отже, мандрівнику треба 100г карамелі КОЖНОГО виду, тож будемо вважати, що, витягуючи пакети навмання, йому не щастить і він дістає карамелі ОДНОГО виду, причому такого, якого найбільше. А це є горіхова карамель (1,4 кг = 1400г = 14 пакетів). Отже, нехай він всі ці пакети й витягнув. Після Дорожко починає витягувати желейну карамель (1 кг = 1000г = 10 пакетів), після – медову (теж 10 пакетів) і так далі. Як бачимо, пані вдача повністю відвернулася від Дорожка і йому довелось витягувати величезну кількість пакетів. Маємо:
14 пакетів горіхової карамелі + 10 пакетів желейної карамелі + 10 пакетів медової карамелі + 6 лікерної + 5 фруктово-ягідної = 45 пакетів.
І що залишилось? Правильно, тільки шоколадна карамель, тому мандрівникові достатньо витягнути ще один пакет і він ГАРАНТОВАНО буде мати 100г карамелі кожного виду. Тому правильна відповідь: 45+1=46 пакетів (1 – це шоколадна карамель). Отже, витягнувши 46 пакетів Дорожко ОБОВ’ЯЗКОВО буде мати по 100 г карамелі кожного найменування. Це як у прикладі з авдиторією і студентами: коли до кабінету зайшло 6 студентів, вони могли не сідати парами і зайняти всі місця, тому сьомому студенту доведеться підсісти до когось. Так ось, в розв’язаній задачі шоколадна карамель виявилася «сьомим студентом»!
На жаль, такого типу завдання доволі важко знайти навіть в інтернеті, де на принцип Діріхле здебільшого залишають задачі на доведення або ж задачі більш складного математичного рівня. Саме для того, щоб студенти мали змогу більше попрактикуватись у розв’язанні задач рівня ТЗНК, нижче я залишу ряд прикладів для самостійного розв’язку з їх коротким розв’язком.
Задача №1. У коробці лежать 4 білих, 5 синіх і 6 червоних кульок. Яку найменшу кількість кульок треба взяти з коробки навмання, щоб гарантовано дістати:
а) 3 кульки одного кольору;
б) кульки всіх трьох кольорів;
в) 2 білі кульки;
г) принаймні 1 червону кульку;
д) принаймні 1 синю кульку.
Задача №2. У скриньці лежать 5 персиків, 10 яблук та 20 груш. Яку найменшу кількість фруктів треба взяти зі скриньки навмання, щоб гарантовано дістати принаймні 1 персик та 2 груші?
Задача №3. У колоді 36 карт (6, 7, 8, 9, 10, валет, дама, король, туз кожної масті). Яку найменшу кількість карт треба взяти з колоди навмання, щоб гарантовано дістати:
а) туз будь-якої масті;
б) туз будь-якої червоної масті;
в) пікову даму.
Задача №4. У шухляді знаходиться 6 келихів, 12 чарок та 18 склянок. Яку найменшу кількість одиниць посуду треба навмання дістати з шухляди, щоб гарантовано дістати:
а) 2 келихи;
б) 2 чарки;
в) 2 склянки;
г) 1 келих та 1 чарку;
д) 1 келих та 1 склянку.
Задача №5. У ящику лежать 10 пар однакових капців та 10 пар однакових сандалів. Скільки одиниць взуття треба взяти навмання з ящика, щоб серед них обов’язково була одна пара капців?
Зауваження: одна пара взуття = 2 одиниці взуття.
Задача №6. Відомо, що за контрольну роботу з математики оцінку 10 отримали два учні, а оцінку 8 отримали три учні. Більше однакових оцінок не було. Виходячи з цих даних, яка найбільша кількість учнів може навчатися в цьому класі?
ВІДПОВІДІ
Задача №1.
а) дістаємо кульки різних кольорів: 3 (білий, синій, червоний) + 3 (білий, синій, червоний) +1 (будь-який) = 7
б) дістаємо кульки однакового кольору, починаючи з найбільшої кількості: 6 (червоні) + 5 (сині) + 1 (білий) = 12
в) дістаємо спочатку не білі кульки: 6 (червоні) + 5 (сині) + 2 (білі) = 13
г) дістаємо спочатку не червону кульку: 5 (сині) + 4 (білі) +1 (червона) = 10
д) дістаємо спочатку не синю кульку: 6 (червоні) + 4 (білі) +1 (синя) = 11
Задача№2.
Дістаємо спочатку всі яблука, далі всі груші (їх найбільше) і 1 персик: 10+20+1=31
Задача№3.
а) дістаємо все, крім тузів + 1 карту: 32 + 1 =33
б) дістаємо все, крім тузів + 2 тузи чорної масті + 1 карту: 32 + 2 + 1 = 35
в) дістаємо все, крім пікової дами + 1 карту: 35 + 1 = 36 (тобто треба дістати взагалі всі карти)
Задача№4.
а) 18 + 12 + 2 = 32
б) 18 + 6 + 2 = 26
в) 12 + 6 + 2 = 20
г) 18 + 12 + 1 = 31
д) 12 + 18 + 1 = 31
Задача №5.
20 (всі сандалі) + 10 (всі ліві/праві капці) + 1 (одна права/ліва) = 31
Задача №6.
2 (учні, що отримали 10) + 3 (учні, що отримали 8) + 10 (всі можливі оцінки з 1 по 12 за виключенням оцінок 8 та 10) = 15 учнів
Також для самостійної роботи та більш глибокого занурення в тему залишаю декілька посилань:
1) ТЗНК 2021, задачі 19,20,21 - https://zno.osvita.ua/master/tznpk/485/
2) ТЗНК 2024 (демо), задачі 29, 30 - https://zno.osvita.ua/master/tznpk/566/
