Системы счисления. Способы перевода числа из одной системы счисления в другую

Что такое система счисления? Виды систем счислений

Система счисления – символический метод записи чисел, совокупность правил и знаков, применяемых для обозначения любого неотрицательного числа.

Сегодня существует 2 основные числительные концепции – непозиционная, позиционная, последняя такфже включает однородную, смешанную системы.

Непозиционный механизм предельно прост, поскольку метод ведения счета самый древний. Каждая отдельная цифра числа представляет величину, независящую от позиции данной цифры (разряда). 20 палочек равно числу 20, каждой палочке соответствует 1 предмет. 

Современным примером подобного способа являются римские цифры, алфавитные цифровые обозначения – греческий, славянский, к примеру.

Позиционное исчисление довольно понятно. Определенная цифра числа обладает значением, зависящим от ее расположения в разряде. Обыденная десятичная система предлагает следующее цифровое обозначение числа 863. 8 определяет количество сотен – 800, 6 – десятков – 60, 3 – единиц. Основания данного метода счисления – количество знаков, символов, применяемых для изображения цифр.

Однородная концепция ведения счета пользуется цифрами одного множества. Каждый разряд использует исключительно одно цифровое обозначение: 0 – 9. Пример: число 863 (1-й разряд – 3, 2-й разряд – 6, 3-й разряд – 8).

Смешанная (неоднородная) система представляет обобщение конечной линейной комбинации степеней числа. Каждый отдельный разряд числа (позиция) характеризируется отличающимся набором символов. Наглядный пример – временная линия (60 секунд = 1 минута, 60 минут = 1 час, 24 часа = 1 сутки).

История систем счисления: возникновение, описание, актуальность сегодня

Издревле наши предки пользовались зарубками на стволах деревьев, пометками на камнях, стенах пещер, глиняных табличках – первичными символами счета.

Около 12-13 тысяч лет тому назад возникло так называемое «палочковое» письмо. Археологические раскопки периода палеолитической эры свидетельствовали: количественные показатели изображались зарубками, черточками, узелками. Числовые данные записывались посредством рисования палочек – единственным видом символов. 

Открывает эру математических способностей человечества единичный непозиционный метод исчисления – «палочный». Отдельному предмету соответствовала одна палочка. Неудобства данного способа очевидны: длинные числа требовали огромного количества палочковых символов. Строка изображения числа получалась слишком длинной. 

Впоследствии неандертальцы додумались группировать предметы, объединяя 3, 5, 10 штук. Знаками начали обозначать группы предметов.

5 тысяч лет тому назад древние египтяне придумали собственную счислительную систему. Египетское счисление включало диапазон символов: от единиц до миллионов. Сумма значений цифр-составляющих определяла общее значение числа.

Представители древневавилонской цивилизации изобрели собственную систему чисел. Прямой клин обозначал единицы, лежачий клин – десятки. Число составляли разряды, расписанные справа налево. 1, 60, все степени 60 изображались одинаково – прямым клином. Отсюда – шестидесятеричный метод счета. 

Римское счисление, сохранившееся доныне, напоминает египетское. Количество воссоздается последовательностью цифр, стоящих подряд. Использовались заглавные буквы латиницы, обозначавшие цифры 1, 5, 10, 50, 100, и 1000, также входящие в состав указанной числительной системы.

Славянская система по образцу греческой вместо цифр использовала буквы алфавита – кириллицы либо глаголицы. Х-ХVIII столетия – предки-славяне применяли комбинации 27 букв. 

Позиционная и смешанная системы счисления. Виды данных систем

Смешанная числительная концепция отличается следующими особенностями: запись любой p-ичной цифры происходит с одинаковым количеством q-ичных разрядов, являющихся достаточными для отображения любого базисного числа p-ичной системы. Типичными примерами возрастающей числовой последовательности, представления числа х в виде линейной комбинации являются системы:

• Фибоначчи – последовательность стартует от 0, 1; каждый последующий элемент составляет сумму 2-х предыдущих. Третья составляющая последовательности равна 1 (1=1+0), четвёртая – 2 (2=1+1), пятая – 3 3 (3=2+1) и т.д.
• Факториальная – выводится из факториалов.
• Биномиальная – последовательность, применяющая биномиальные коэффициенты. 

Позиционная счислительная методика включает следующие подразделения:

• Двоичная система счисления – язык вычислительной техники. Здесь используются всего 2 цифры – 0, 1. Двойка является основанием метода. Принцип кодирования информации посредством использования символов 0, 1 – бинарный код. Разряд достигает своего предела – появляется новый разряд, старый сразу обнуляется. Символ 10 обозначает два, 11 – три , 100 – четыре, 101 – пять. Двоичная числовая запись может переводиться в десятичную и наоборот. 
• Десятичная концепция исчисления является наиболее распространенной. Данный метод оперирует цифрами 0-9. Счет достигает 9 – вводится новый разряд (десятки), единицы обнуляются, отсчет начинается снова. Далее следуют сотни, тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч, миллионы, миллиарды. Любое число возможно представить в виде суммы единиц, десятков, сотен и прочее.
• Восьмеричная счислительная схема – типичная система программистов. Записи располагают 8 цифрами – 0-7. Каждому цифровому знаку соответствует набор 3 символов двоичной системы. Например: 000 – 0, 001 – 1, 010 – 2, 011 – 3.
• Шестнадцатеричная концепция – широко используемая в программировании. Применяет цифровые символы 0-9, шесть первых латинских букв – A-10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15. Двоичные знаки при переводе в шестнадцатеричные разбиваются на 4 разряда с конца. 

Перевод из одной системы счисления в другую: способы, особенности

Числовое преобразование – незаменимый аспект работы вычислительной техники, применяющей машинную арифметику. Важно знать принципы выполнения подобных задач. 

Различные приемы числовых переводов определяются видами чисел. Операции проводятся с тремя типами чисел – целыми, отрицательными, дробными. Необходимость перевести число между счислительными системами порождает правило№1: сначала преобразовать числовой символ в десятичную систему. 

Вычисление возможно проводить вручную, самостоятельно расписывая последовательности, либо путем использования универсального электронного калькулятора.

Перевод систем счисления легко, быстро выполнить с помощью смартфона, скачав и установив специальные приложения, например, переводчик из десятичной в двоичную систему. Удобно пользоваться онлайн калькулятором: https://math.semestr.ru/inf/index.php, https://fin-calc.org.ua/ua/calculator/conversion/notation/any/, https://planetcalc.ru/375/. Вписываем основание счислительной концепции нужного числа, затем – основание системы, в которую необходимо данное число перевести. Получаем результат. 

Правила перевода целых чисел

Существует несколького методов числовой трансформации.

Перевод из десятичной в двоичную систему несложный. 

Вариант №1. Производим деление числа на основание необходимой системы счисления (в данном случае 2), пока в остатке не появится число, меньшее основания нужной числительной концепции. 

Возьмем число 984. 

Целая часть от деления	Остаток от деления
984 : 2 = 492	984 mod 2 = 0
492 : 2 = 246	492 mod 2 = 0
246 : 2 = 123	246 mod 2 = 0
123 : 2 = 61	123 mod 2 = 1
61 : 2 = 30	61 mod 2 = 1
30 : 2 = 15	30 mod 2 = 0
15 : 2 = 7	15 mod 2 = 1
7 : 2 = 3	7 mod 2 = 1
3 : 2 = 1	3 mod 2 = 1
1 : 2 = 0	1 mod 2 = 1

Записываем полученный остаток в обратном порядке. Получаем 98410=11110110002

Вариант № 2. 

1. Находим ближайшую по результату к 984 степень числа 2, не превосходящую 984: 29=512.
2. Вычитаем 512 из 984: 984-512= 472.

Повторяем действия, пока не останется 1 либо 0.

В итоге получаем последовательность: 512+256+128+64+16+6+2=29 +28 +27 +26 +23 +21.

Далее соотносительно показателям слагаемых (в примере числа – 9, 8, 7, 6, 3, 1) размещаем единицы по разрядам. В оставшиеся позиции вписываем нули. Либо расписываем слагаемые в виде степеней числа 2 в столбик, начиная с большего.

Попробуем перевести в двоичную систему число 98416. Пользуемся таблицами соответствия систем счисления:

9=1001, 8=1000, 4=0100. Итого получаем 98416 =1001100001002.

Пример трансформации из восьмеричной схемы в десятеричную.

Возьмем числовой знак 438 . Для перевода необходимо умножить разряд числа на соответствующую степень разряда.

438 = 81*4 + 80*3 = 32 + 3 = 35

Особенности перевода отрицательных чисел

Данный тип числового преобразования предусматривает поэтапный алгоритм действий.

Вводится понятие обратного кода – метода, дающего возможность вычесть одно число из другого посредством сложения (для отрицательного числового знака код извлекаем из неотрицательного числа, инвертируя биты: 0 – 1, 1 – 0); дополнительного кода – наиболее популярного способа, позволяющего уравновесить процедуры сложения и вычитания для знаковых и беззнаковых символов. Возможность преобразования десятичных числовых знаков составляет вариацию -128 – +127. Также код позволяет проводить с отрицательными числами арифметические действия.

Рассмотрим образец получения двоичного символа из числа -92.

Сначала установим окончательный размер будущего числового знака. Например, 1 байт. Далее следует произвести преобразование 92 в двоичную числовую концепцию. 

92=1011100

Учитываем восьмиразрядный размер байта, поэтому до последовательности дописываем 0. Получается: 01011100.

Преобразуем полученный результат в обратный код: нули сменяем на единицы и наоборот: 10100011.

Выводим дополнительный код посредством добавления единицы: 10100100. 

Примеры перевода дробных чисел

Классификация дробей охватывает обыкновенные и десятичные виды. 

Первые включают числа, составленные из одной/нескольких равных частей единицы. Межсистемная трансформация данного вида дробей предельно проста: отдельно производим перевод числителя и знаменателя, потом составляем их соотношение. 

Десятичные дробные числа переводим следующим образом:

1. Ориентируемся на основание необходимой концепции исчисления.
2. Нужную дробь поочередно умножаем на основание новой системы, пока полученная дробная часть не станет равной нулю. 
3. Собираем полученные целые части, затем расставляем их соответственно разрядам выбранной счислительной сиистемы.
4. Целая часть размещается на позиции первого после запятой разряда.

Например, требуется перевод в двоичную систему числа 0,12396. Рассмотрим таблицу:

0,	12396
*2
0,	24792
*2
0,	49584
*2
0,	99168
*2
1,	98336

Получаем число в 2-ой системе счисления: 0001

0.12396 = 0.00012

Межсистемная трансформация двоичного знака в десятичный отличается следующим алгоритмом.

Нужно преобразовать числовое обозначение 10010.1012.

100102 = 24*1 + 23*0 + 22*0 + 21*1 + 20*0 = 16 + 0 + 0 + 2 + 0 = 18 (целую часть умножаем на соответствующую степень разряда).

1012 = 2-1*1 + 2-2*0 + 2-3*1 = 0.625 (дробную часть разделяем на соответствующую степень разряда).

Складываем оба значения: 10010.1012 =18, 625.