Дискриминант квадратного уравнения и его геометрический смысл

Одна из немногих формул, которую удается выучить к концу девятого класса практически всем ученикам, это формула нахождения дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения. И чаще всего для ученика эти формулы представляют собой набор заклинаний, не наполненных особым смыслом.
Общеизвестно, что графиком квадратичной функции является парабола, однако рискну предположить, что не каждый учитель сможет не задумываясь показать на графике отрезок, имеющий отношение к дискриминанту.
Слово "дискриминант" происходит от латинского discriminans, отделяющий, разделяющий. 
Попробуем разобраться, что же разделяет (или "дискриминирует") дискриминант. Согласно любому современному учебнику алгебры восьмого класса формула корней квадратного уравнения выводится путем выделения квадрата двучлена. В процессе выделения получается выражение D = b^2-4ac, которое и называют дискриминантом. Пример из учебника алгебры Бевз Г.П. (2016 год):
<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://i.imgur.com/ZXvmyOT.png" alt="" width="600" height="167">
Обосновывается это название следующим образом:
Если D &lt; 0, то данное уравнение не имеет корней - ведь невозможно, чтобы квадрат некоторого вещественного выражения был отрицательным числом.
Если D = 0, то данное уравнение имеет один корень - ведь только квадрат нуля равен нулю.
Если D &gt; 0, то данное уравнение имеет два корня.
В результате ученик вынужден заучивать не только формулы нахождения корней квадратного уравнения, но и эти три утверждения - взаимосвязь дискриминанта с количеством корней.
На мой взгляд, методически правильнее сначала довести разбор понятия "дискриминант" до логического конца, указав, что дискриминант равен квадрату расстояния между корнями уравнения. 
<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://i.imgur.com/vAdhir4.png" alt="" width="500" height="59">
Рассмотрим для простоты приведенное квадратного уравнение (напомню, что любое квадратное уравнение легко привести к приведенному виду, разделив все коэффициенты на старший коэффициент). Итак, с учетом теоремы Виета:
<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://i.imgur.com/9OWeLPk.png" alt="" width="400" height="92">
Таким образом, если корни приведенного квадратного уравнения существуют, то расстояние между ними равно корню из дискриминанта. 
Грубо говоря, чем больше дискриминант, тем больше расстояние между корнями. Вот что показывает дискриминант - насколько далеки корни друг от друга, если они существуют. А связь с количеством корней - это всего лишь следствие этого простого факта.
Теперь взаимосвязь между дискриминантом и количеством корней ясна как на ладони: если дискриминант равен нулю, то расстояние между корнями равно нулю, они совпадают - два корня, образно говоря, наложились друг на друга и превратились в один корень. Далее, расстояние не может быть меньше нуля, а значит, при отрицательном дискриминанте корней нет. Если же дискриминант строго положителен, то корней два и расстояние между ними как раз и равно корню из дискриминанта.
Эти выводы интуитивно понятны и не требуют отдельного заучивания. Более того, понимание геометрического смысла дискриминанта помогает упростить и ускорить нахождение самих корней.
Начинающий ученик действует обычно по следующей схеме:
1) определяет коэффициенты уравнения;
2) записывает формулу дискриминанта, подставляет в нее значения коэффициентов, вычисляет значение;
3) извлекает квадратный корень из дискриминанта;
4) записывает формулу корней и поочередно вычисляет каждый из них.
Шаг 4 можно упростить, найдя меньший корень и затем для нахождения большего корня останется только прибавить корень из дискриминанта - а он у нас уже посчитан на шаге 3. 
(В случае неприведенного квадратного уравнения нужно не забыть корень из дискриминанта разделить на старший коэффициент).
Вывод. Знание геометрического смысла дискриминанта квадратного уравнения позволяет ученикам получить наглядное представление о взаимосвязи корней и коэффициентов уравнения, упростить расчеты, уменьшить объем заучиваемой информации.

Олена Д.

Подготовка к НМТ по математике 2026

Апелляция результатов НМТ-2026

Как задавать вопросы на английском языке: таблица и примеры

Преодолеваем языковой барьер: советы и лайфхаки

600 грн/час

Індивідуальний підхід до учня. Націленість на результат. ЗНО, ДПА.

Про [:site]

Рейтинг: 

Присоединяйтесь

Полезные ссылки

Слава Украине!

Слава Україні! Героям слава!

Ми используем файлы cookie для упрощения навигации по сайту, анализу того, как он используется, предоставления актуальной рекламы. Если вы нажимаете "Разрешить все cookies", вы соглашаетесь на использование нами всех файлов cookies на сайте. Если вы нажимаете "Не разрешать", то будут использоваться только обязательные файлы cookies. Узнать подробнее в нашей <a [:privacy_link]>Политике конфиденциальности</a> и <a href='/p/cookies/'>Политике файлов cookie</a>

Выберите файлы cookie!

Вход

Больше

Если вы хотите сменить преподавателя, пожалуйста, напишите об этом менеджеру

Вы уже забронировали пробный урок с преподавателем [:TUTOR_NAME]

Забронируйте бесплатное пробное занятие с преподавателем BUKI School

Пожалуйста. выберите время, которое вам подходит, иначе это время репетитора может быть занято другим учеником

Вы не забронировали пробный урок с преподавателем 😔

Район/микрорайон

Ваши контакты никогда не будут отображаться на сайте и будут предоставлены только репетитору и менеджеру поддержки компании [:SITE]

Оформление и отправка заявки

казахский

русский

английский

Отправляя заказ, вы соглашаетесь с

Я ознакомился и согласен с

, даю согласие на обработку моих персональных данных в соответствии с 

и подтверждаю достижение мной 16-летнего возраста или я являюсь родителем/опекуном

Я ознакомлен и согласен с 

Наши менеджеры уже обрабатывают вашу заявку и свяжутся с вами как можно быстрее.

Спасибо за ваш запрос!

Вы можете также подать заявку другим преподавателям, чтобы получить больше вариантов для начала обучения.

Ваша заявка принята!

Если у вас возникли любые вопросы или сложности - просто закажите звонок

Украинский язык и литература

Сербский язык

Грузинский язык

Македонский язык

Боснийский язык

Каталонский язык

Анатомия

Искусствоведение

Юриспруденция

Логика

Социология

Химия

Ботаника

Зоология

Экология

Генетика

Молекулярная физика

Электрика и магнетизм

Оптика

Казахский язык

Татарский язык

Игра на саксофоне

Биология

Иврит

Игра на скрипке

Дизайн

Исландский язык

Словенский язык

Игра на сопилке

Игра на барабанах

Игра на трубе

Журналистика

Интернет-маркетинг

Английский язык

Каллиграфия

Бухгалтерский учет

Уроки фотошопа (Photoshop)

Фарси (персидский язык)

Французский язык

Уроки кроя и шитья

Фотография

Фитнес тренер

Албанский язык

Шашки

STEM и робототехника

Дизайн одежды

Игра на арфе

Игра на баяне, аккордеоне

Немецкий язык

Архитектура

Оригами

Режиссура

Литовский язык

Вьетнамский язык

Дискретная математика

Начертательная геометрия

Биохимия

Сольфеджио

Веб-Дизайн

Латынь

Инструктор йоги

Электротехника

Геодезия

Строительная механика

Графический дизайн

Математическая статистика

Ораторское искусство

Древнегреческий язык

Аудит

Эконометрика

Тайский язык

Техническая механика

Менеджмент

Математическое моделирование

Латышский якык

Игра на виолончели

Игра на флейте

Видеомонтаж

Компьютерная грамотность

Гра на тромбоне

Игра на контрабасе

Тамильский язык

Игра на бандуре

Фармакология

Дефектолог

Скульптура

История Украины

Игра на губной гармонике

Анимация

Черногорский язык

Крымскотатарский язык

Автоинструктор

Профориентация

Уроки игры на Укулеле

Ментальная арифметика

Художественная гимнастика

География

Идиш язык

Игра на фаготе

Этика

Игра на кларнете

Спортивная гимнастика

Тренер по теннису

Кулинарные курсы

Рукоделие

Скорочтение

Итальянский язык

Польский язык

Турецкий язык

Греческий язык

Всемирная история

Программирование

Черчение и проектирование

Экономика

Живопись

Рисование

Психология

Китайский язык

Игра на гитаре

Игра на фортепиано

Музыка

Испанский язык

Русский язык

Зарубежная литература

Чешский язык

Высшая математика

Математический анализ

Фламандский язык

Актерское мастерство

Японский язык

Нидерландский язык

Эстонский язык

Подготовка к школе

Младшие классы

Правоведение

Румынский язык

Норвежский язык

Венгерский язык

Словацкий язык

Философия

Арабский язык

Португальский язык

Астрономия

Няня для детей

Финский язык

Хинди

Корейский язык

Хореография и танцы

Уроки вокала

Армянский язык

Дифференциальные уравнения

Теория вероятностей

Теоретическая механика

Датский язык

Развитие памяти

Физическое воспитание

Шахматы

Болгарский язык

Все статьи репетитора: Олена Д.

Статьи об образовании

Блог репетитора – Елена Д.