Дискримінант квадратного рівняння та його геометричний зміст

Одна з небагатьох формул, яку вдається вивчити до кінця дев'ятого класу практично всім учням, це формула знаходження дискримінанта і формули коренів квадратного рівняння. І найчастіше для учня ці формули є набір заклинань, не наповнених особливим змістом.
Загальновідомо, що графіком квадратичної функції є парабола, проте ризикну припустити, що не кожен вчитель зможе не замислюючись показати на графіку відрізок, що має відношення до дискримінанта.
Слово "дискримінант" походить від латинського discriminans, що відокремлює, поділяє.
Спробуємо розібратися, що ж поділяє (або дискримінує) дискримінант. Відповідно до будь-якого сучасного підручника алгебри восьмого класу формула коренів квадратного рівняння виводиться шляхом виділення квадрата двочлена. У процесі виділення виходить вираз D = b^2-4ac, який і називають дискримінантом. Приклад із підручника алгебри Бевз Г.П. (2016 рік):
<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://i.imgur.com/ZXvmyOT.png" alt="" width="600" height="167">
Обґрунтовується ця назва наступним чином:
<ul>
<li>Якщо D &lt; 0, то дане рівняння не має коріння - адже неможливо, щоб квадрат деякого речовинного виразу був негативним числом.</li>
<li>Якщо D = 0, то дане рівняння має один корінь - адже квадрат нуля дорівнює нулю.</li>
<li>Якщо D &gt; 0, то дане рівняння має два корені.</li>
</ul>
В результаті учень змушений заучувати не тільки формули знаходження коренів квадратного рівняння, а й ці три твердження - взаємозв'язок дискримінанта з кількістю коренів.
На мій погляд, методично правильніше спочатку довести розбір поняття "дискримінант" до логічного кінця, вказавши, що дискримінант дорівнює квадрату відстані між корінням рівняння.
<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://i.imgur.com/vAdhir4.png" alt="" width="500" height="59">
Розглянемо для простоти наведене квадратне рівняння (нагадаю, що будь-яке квадратне рівняння легко привести до наведеного виду, розділивши всі коефіцієнти на старший коефіцієнт). Отже, з урахуванням теореми Вієта:
<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://i.imgur.com/9OWeLPk.png" alt="" width="400" height="92">
Таким чином, якщо коріння наведеного квадратного рівняння існує, то відстань між ними дорівнює кореню з дискримінанта.
Грубо кажучи, чим більше дискримінант, тим більша відстань між корінням. Ось що показує дискримінант - наскільки далекі коріння один від одного, якщо вони існують. А зв'язок із кількістю коренів - це лише наслідок цього простого факту.
Тепер взаємозв'язок між дискримінантом і кількістю коренів зрозумілий як на долоні: якщо дискримінант дорівнює нулю, то відстань між корінням дорівнює нулю, вони збігаються - два корені, образно кажучи, наклалися один на одного і перетворилися на один корінь. Далі, відстань не може бути меншою за нуль, а значить, при негативному дискримінанті коренів немає. Якщо ж дискримінант суворо позитивний, то коріння два і відстань між ними якраз і дорівнює кореню з дискримінанта.
Ці висновки інтуїтивно зрозумілі і вимагають окремого заучування. Більше того, розуміння геометричного сенсу дискримінанта допомагає спростити і прискорити знаходження самого коріння.
Учень-початківець діє зазвичай за наступною схемою:
1) визначає коефіцієнти рівняння;
2) записує формулу дискримінанта, підставляє у ній значення коефіцієнтів, обчислює значення;
3) витягує квадратний корінь із дискримінанта;
4) записує формулу коренів і по черзі обчислює кожен із них.
Крок 4 можна спростити, знайшовши менший корінь і потім знаходження більшого кореня залишиться лише додати корінь з дискримінанта - а він у нас уже порахований на кроці 3.
(У разі ненаведеного квадратного рівняння не слід забути корінь з дискримінанта розділити на старший коефіцієнт).
Висновок. Знання геометричного сенсу дискримінанта квадратного рівняння дозволяє учням отримати наочне уявлення про взаємозв'язок коренів та коефіцієнтів рівняння, спростити розрахунки, зменшити обсяг інформації, що заучується.

Олена Д.

День вишиванки: історія свята, символіка орнаментів та цікаві факти

6 сервісів для створення навчальних тестів та завдань онлайн

Що таке рекомендаційний лист і як його написати

Скільки коштують заняття з репетитором в Україні у 2026 році?

600 грн/год

Індивідуальний підхід до учня. Націленість на результат. ЗНО, ДПА.

Про [:site]

Рейтинг: 

Приєднуйтесь

Корисні посилання

Слава Україні! Героям слава!

Ми використовуємо файли cookie для спрощення навігації по сайту, аналізу того, як він використовується, надання актуальної реклами. Якщо ви натискаєте "Дозволити всі cookies", ви погоджуєтесь на використання нами всіх файлів cookies на сайті. Якщо ви натискаєте «Не дозволяти», то використовуватимуться лише обов'язкові файли cookies. Дізнайтеся більше в нашій <a [:privacy_link]>Політиці конфіденційності</a> та <a href='/p/cookies/'>Політиці файлів cookie.</a>

Оберіть файли cookie!

Вхід

Більше

Якщо ви хочете змінити викладача, будь ласка, напишіть про це менеджеру

Ви вже забронювали пробний урок з викладачем [:TUTOR_NAME]

Забронюйте безкоштовне пробне заняття з викладачем BUKI School

Будь ласка, оберіть час, який вам підходить інакше цей час репетитора може бути зайнятий іншим учнем

Ви не забронювали пробний урок з викладачем 😔

Район / мікрорайон

Ваші контакти ніколи не відображатимуться на сайті та будуть надані тільки репетитору та менеджеру підтримки компанії [:SITE]

Оформлення й відправка заявки

казахська

русійська

англійська

Залишаючи заявку, ви приймаєте

Надсилаючи заявку, ви погоджуєтесь з

Я ознайомлений та  згоден з

, надаю  згоду на  обробку моїх персональних даних згідно 

та підтверджую досягнення мною 16-річного віку або я є батьком/опікуном

Я ознайомлений та згоден з 

Наші менеджери вже опрацьовують вашу заявку і звʼяжуться з вами в найкоротший термін.

Дякуємо за ваш запит!

Ви можете подати заявку також іншим викладачам, щоб отримати більше варіантів для початку навчання.

Ваша заявка прийнята!

Якщо у вас виникли будь-які питання або складності - просто замовте дзвінок

Українська мова та література

Сербська мова

Грузинська мова

Македонська мова

Боснійська мова

Каталонська мова

Анатомія

Мистецтвознавство

Юриспруденція

Логіка

Соціологія

Хімія

Ботаніка

Зоологія

Екологія

Генетика

Молекулярна фізика

Електрика і магнетизм

Оптика

Казахська мова

Татарська мова

Гра на саксофоні

Біологія

Іврит

Гра на скрипці

Дизайн

Ісландська мова

Словенська мова

Гра на сопілці

Гра на барабанах

Гра на трубі

Журналістика

Інтернет-маркетинг

Англійська мова

Каліграфія

Бухгалтерський облік

Уроки фотошопа (Photoshop)

Фарсі (персидська мова)

Французька мова

Уроки крою та шиття

Фотографія

Фітнес тренер

Албанська мова

Шашки

STEM і робототехніка

Дизайн одягу

Гра на арфі

Гра на баяні, акордеоні

Німецька мова

Архітектура

Оригамі

Режисура

Литовська мова

В'єтнамська мова

Дискретна математика

Нарисна геометрія

Біохімія

Сольфеджіо

Веб-Дизайн

Латинь

Інструктор йоги

Електротехніка

Геодезія

Будівельна механіка

Графічний дизайн

Математична статистика

Ораторське мистецтво

Давньогрецька мова

Аудит

Економетріка

Тайська мова

Технічна механіка

Менеджмент

Математичне моделювання

Латиська мова

Гра на віолончелі

Гра на флейті

Відеомонтаж

Комп'ютерна грамотність

Гра на тромбоні

Гра на контрабасі

Тамільська мова

Гра на бандурі

Фармакологія

Дефектолог

Скульптура

Історія України

Гра на губній гармоніці

Анімація

Чорногорська мова

 Кримськотатарська мова

Автоінструктор

Профорієнтація

Уроки гри на Укулеле

Ментальна арифметика

Художня гімнастика

Географія

Їдиш мова

Гра на фаготі

Етика

Гра на кларнеті

Спортивна гімнастика

Тренер з тенісу

Кулінарні курси

Рукоділля

Швидкочитання

Італійська мова

Польська мова

Турецька мова

Грецька мова

Всесвітня історія

Програмування

Креслення та проектування

Економіка

Живопис

Малювання

Психологія

Китайська мова

Гра на гітарі

Гра на фортепіано

Музика

Іспанська мова

Російська мова

Зарубіжна література

Чеська мова

Вища математика

Математичний аналіз

Фламандська мова

Акторська майстерність

Японська мова

Нідерландська мова

Естонська мова

Підготовка до школи

Молодші класи

Правознавство

Румунська мова

Норвезька мова

Угорська мова

Словацька мова

Філософія

Арабська мова

Португальська мова

Астрономія

Няня для дітей

Фінська мова

Гінді

Корейська мова

Хореографія і танці

Уроки вокалу

Вірменська мова

Диференціальні рівняння

Теорія ймовірностей

Теоретична механіка

Данська мова

Розвиток пам'яті

Фізичне виховання

Шахи

Болгарська мова

Всі статті репетитора: Олена Д.

Статті про освіту

Блог репетитора компанії BUKI – Олена Д.