Чим простішим є поняття, тим складніше його описати. Типова і постійно повторювана картина: питаю в учня 'Що таке точка?'. Типова відповідь - ставить олівцем на папері і відповідає 'ось точка'. Заперечую: 'це не точка, це позначення точки; якщо глянути в мікроскоп, буде видно пляму неправильної форми, на котрій можна розмістити безліч інших точок'. Зрештою, через кілька речень підходимо до базових неозначуваних понять.
В геометрії фігури означуються через якійсь простіші. Означення можна описати як формальний спосіб визначення або термінів, фігур або відношень, щоб мати чітке розуміння їх значення. Мета - уникнути невизначеності та допомогти людям розуміти геометричні об'єкти і концепції. В більшості інших галузей знань еквівалентним є термін 'визначення'.
Означення геометричного поняття завжди апелює до деякиї інших понять, котрі вже відомі (означені).
Так, кут можна означити як фігуру, яка складається з точки (вершини кута) і двох променів, що виходять із цієї точки. Апелює до поняття 'промінь', котрий можна означити як чистину прямої по одну сторону від точки.
Таким чином, ми отримали три поняття, котрі надалі означити не виходить: точка, пряма, геометрична фігура. Означання будь-якої геоматричної фігури, незалежно від її складності, рано чи пізно зведеться до певного набору базових неозначуваних понять (в вищеописаному випадку це точка, пряма, геометрична фігура), через котрі можна означити будь-яку іншу.
Базові неозначувані поняття
Основні неозначувані поняття (або базові неозначувані поняття, первинні поняття) - це найпростіші поняття (терміни), котрі неможливо означити через ще простіші.
Їх список може дещо різнитись залежно від 'школи' геометрії. Так, Евклід використовував один набір понять, 'Радянська школа' - трішки інший, а основи геометрії української 'Нової школи' відрізняється вже доволі сильно; особливо легко це перевірити, порівнявши систему аксіом Евкліда та систему аксіом 'Нової школи'.
Втім, майже завжди основні поняття включають геометричне тіло (геометричну фігуру), точку, пряму, поверхню, площину, простір. В сучасній школі зазвичай використовується менша їх кількість, а конкретніше - 'точка', 'пряма', 'площина', 'простір', а інколи - і 'геометричне тіло'.
Означити ці поняття неможливо, не апелюючи або до інших неозначуваних понять, або синонімів. Так, означуючи точку як 'геометричну фігуру, що має положення в просторі, але не має довжини, ширини й висоти', ми апелюємо до понять 'геометрична фігура', 'простір', 'довжина', 'ширина', 'висота'. Якщо ж означимо як 'спільна частина двох прямих при їх перетині', ми апелюємо до поняття 'пряма'.
Точка
Означити точку намагались і Піфагор, і Арістотель. Платон її визначив як 'початок лінії', а Евклід - як 'те, що не ділиться на частини'.
Точка - це основне поняття в геометрії, яке не має розміру і визначається лише своїми координатами або геометричним положенням. Також можна уявити як спільну частину двох прямих, котрі перетинаються. Не має розмірності (жодного виміру), проте має положення в просторі.
Лінія
Лінію можна описати як спільну частину двох поверхонь, котрі перетинаються. Вона має довжину, але не має ширини або висоти. Власне, Платон означив її як 'довжину без ширини', а Арістотель описав, що точка, котра рухається, утворює лінію, а рух лінії - поверхню.
Пряма
Пряму можна розглядати як розширення точки в одному напрямку. Являє собою окремий вид лінії. Уявлення про пряму дає спільна частина двох площин, котрі перетинаються. Архімед описав пряму як найкоротшу з усіх ліній, котрі закінчуються в тах самих точках.
Площина
Площина являє собою окремий вид поверхні, будь-яка частина якої може бути суміщена з початковою поверхнею в довільному місці що в прямому, що в інвертованому (себто переверненому) вигляді. Це називають властивістю прямого та переверненого ковзання, і властива вона лише площині (на відміну від інших поверхонь; до прикладу, частина сферичної поверхні теж може бути суміщена з початковою поверхнею в будь-де, однак без перевертання).
Евклід в основу свого визначення поклав властивість, згідно котрої покладена на неї пряма завжди суміщається з площиною усіма своїми точками. Роберт Сімсон свормулював це наступним чином: 'площиною є така поверхня, що пряма, котра з'єднує дві будь-які точки поверхні, буде повністю лежати на ній'. Підхід Ж. Фур'є відрізнявся кардинально: він описав площину як сукупність прямих, що проходять через задану на іншій прямій точку, причому перепендикулярно до останньої.
Простір
В найзагальнішому випадку, простір в геометрії - це абстрактне поняття, яке описує математичну область, в якій розташовані об'єкти та явища. Може бути одно-, дво-, тривимірним або існувати в вищих розмірностях, в залежності від контексту.
Тим не менше, в шкільному курсі під простором зазвичай мають на увазі саме тривимірний простір.
Поверхня
В геометрії поверхня - це абстрактне поняття, яке описує границю двох частин тривимірного простору. Арістотель визначав як межу або перетин тіла.
Наприклад, поверхню куба можна розглядати як межу між частиною простору всередині кубу та поза його межами. Також поняття поверхні можна описати як нескінченно тонкий шар, що відокремлює дві суміжні частини простору. Поверхня може бути різної форми, розміру та складності. Вона відображається в тривимірному просторі і може мати різні математичні характеристики. Має границю або контур, який визначає її форму та розмір. Може бути простою чи складною, залежно від геометричних характеристик поверхні.
Поверхню також можна описати як геометричне тіло (геометричну фігуру), котра має дві розмірності (довжину та ширину), проте не має третьої (товщини або висоти). Використовується для опису різних геометричних фігур та взаємного розташування точок та ліній в просторі.
Геометричне тіло (геометрична фігура)
Уявлення про геометричне тіло можна отримати, розглянувши виключно форму та розміри будь-якого предмету.
Для чого це все?
Розуміння базових понять дозволяє вивчати геометрію комплексно, осмислено, 'розуміти' її замість простого зазубрювання правил та вирішення задач 'по аналогії'. Допомагає розвивати логічне та абстрактне мислення. Формує математичний світогляд.
Для того, щоб підготуватись до ДПА або ЗНО чи НМТ, дана інформація, мабуть, надлишкова (оскільки оцінюється не розуміння предмету, а наявність знань та навичок). Це давня проблема різниці між освітою (формуванням світогляду) та навчанням (набуттям конкретних знань та навичок). Якщо ж мета - власне особистий розвиток, розуміння предмету та математичний світогляд, без розуміння базових понять, мабуть, не обійтись.
Джерела:
1) 'Довідник з елементарної математики' за редакцією Фільчакова
2) 'Начала' Евкліда в перекладі Мордухая-Болтовского, том 1
3) 'Геометрія 6-10' Погорєлова 1981 р. за редакцією Зубкова та Бурмістрова
