Арифметична прогресія на НМТ

Арифметична прогресія

Чи ви колись мали змогу пройти тест на iq? 

Якщо так, то скоріше за все бачили схожі завдання як на фото. 

На даному малюнку наведено арифметичну прогресію. Кожне число зменшується на 33 від попереднього значення. Це називають різницею арифметичної прогресії (d = 33).

Арифметична прогресія - це послідовність величин, в якій кожна наступна величина отримується шляхом додавання або віднімання однієї й тієї ж самої різниці (d) до попередньої велечини.

Існує декілька основних формул для ариметичної прогресії:

Знаходження n-го члена (де n - номер значення в послідовності) : a_n = a₁ + d(n-1)

Сума n-членів (наприклад сума 3 членів це буде як: a₁ + a₂ + a₃): S_n = ((a₁ + a_n)/ 2)*n

Розберемо декілька задач на практиці:

1. Визначте восьмий член a₈ арифметичної прогресії (a_n), у якої a₇ = 11, a₉ = 18.

Розв'язок: 

1) Розпишемо a₇ та a₉ за формулами: a₇ = a₁ + 6d; a₉ = a₁ + 8d. Давайте спробуємо відняти ці значення і подивитися що буде. 

a₉ - a₇ = a₁ + 8d - (a₁ + 6d) = 18 - 11;

a₁ + 8d - a₁ - 6d = 7;

2d = 7;

d = 3,5 - знайдено різницю арифметичної прогресії

2) Знайдемо a₁ з a₇ чи a₉:

a₇ = a₁ + d(7-1) = 11;

a₁ = 11 - 6d;

a₁ = 11 - 6*3,5;

a₁ = 11 - 21;

a₁ = (-10)

3) Знайдемо a₈ з a₇ чи a₉:

a₈ = a₁ + d(8-1) = -10 + 3,5 * 7 = 14,5

Відповідь: 14.5

2. Протягом першого тижня після реєстрації свої сторінки в соціальній мережі Оленка отримала 7 запрошень стати другом. Кожного наступного тижня вона отримувала на 3 запрошення більше, ніж попереднього. Скільки всього запрошень стати другом отримала Оленка протягом перших десяти тижнів після реєстрації?

P.s. це незвична задача, оскільки з першого погляду можна не зрозуміти що тут схована арифметична прогресія, але давайте розглянемо чому ця задача знаходиться в даній темі.

Розв'язок:

1) Протягом першого тижня Оленка отримала 7 запрошень, тобто нехай a1 = 7 (перше число арифметичної прогресії)

2) Кожного наступного тижня вона отримувала на 3 запрошення більше, ніж попереднього. Якщо пригадати що таке різниця арифметичної прогресії, то можна прийти до висновку, що d = 3.

3) Скільки всього запрошень стати другом отримала Оленка протягом перших десяти тижнів після реєстрації, тобто S₁₀ - ? Тобто, необхідно знайти к-сть усіх заявок за даний проміжок часу.

4) Знайдемо a₁₀:

a₁₀ = a₁ + d(10-1) = 7 + 3*9 = 7 + 27 = 34

5) S₁₀ = ((a₁ + a₁₀)/ 2)*10 = ((7 + 34) / 2) 10 = (41 / 2) * 10 = 205

Відповідь: 205