Системи числення. Способи переведення числа з однієї системи в іншу

 Що таке система числення? Види систем числення

Система числення – символічний метод запису чисел, сукупність правил і законів, що застосовуються для позначення будь-якого невід’ємного числа.

Сьогодні існує 2 основні числові концепції – непозиційна і позиційна, остання також включає однорідну і змішану системи.

Непозиційний механізм максимально простий, оскільки метод ведення рахунку найбільш давній. Кожна окрема цифра числа представляє величину, яка не залежить від позиції даної цифри (розряду). 20 паличок дорівнює числу 20, кожній паличці відповідає 1 предмет.

Сучасним прикладом такого способу є римські цифрі, алфавітні цифрові позначки – грецька, слов’янська, наприклад.

Позиційне числення достатньо зрозуміле. Певна цифра числа має значення, яке залежить від її розташування у розряді. Звична для нас десяткова система пропонує наступне цифрове значення числа 863. 8 позначає кількість сотень – 800, 6 – десятків, 3 – одиниць. Основа даного методу числення – кількість знаків, символів, що застосовуються для зображення цифр.

Однорідна концепція ведення рахунку використовує цифри однієї множини. Кожний розряд користується виключно одним цифровим позначенням: 0 – 9. Наприклад: число 863 (1-й розряд – 3, 2-й розряд – 6, 3-й розряд – 8).

Змішана (неоднорідна) система – це узагальнення кінцевої лінійної комбінації степенів числа. Кожний окремий розряд числа (позиція) характеризується відмінним набором символів. Наочний зразок – часова лінія (60 секунд = 1 хвилина, 60 хвилин = 1 година, 24 години = 1 доба).

 

Історія систем числення: зародження, опис, актуальність сьогодні

Здавна наші предки користувалися зарубками на стовбурах дерев, помітками на камінцях, стінах печер, глиняних табличках – первинними символами рахунку. 

Близько 12-13 тис. років тому виникло так зване «паличкове» письмо. Археологічні розкопки періоду палеолітичної ери свідчили: кількісні показники зображувалися зарубками, рисочками, вузликами. Числові дані записувались шляхом малювання паличок – єдиним видом символів.

Відкриває еру математичних здібностей людства одиничний непозиційний метод числення – «паличний». Окремому предмету відповідала одна паличка. Незручності даного способу очевидні: довгі числа вимагали величезної кількості паличкових символів. Ряд зображення числа виходив довжелезним. 

З часом неандертальці здогадались групувати предмети, об’єднуючи їх по 3, 5, 10 штук. Знаками почали позначати групи предметів. 

5 тис. років тому стародавні єгиптяни придумали власну числову систему. Єгипетське числення включало діапазон символів: від одиниць до мільйонів. Сума значень цифр-елементів визначала загальне значення числа.

Представники древньовавилонської цивілізації винайшли власну систему чисел. Прямим клином шифрували одиниці, лежачим клином – десятки. Число складали розряди, записані справа наліво. Числа 1, 60, усі степені 60 зображувались однаково –прямим клином. Звідси – шістдесятковий метод рахунку.

Римське числення, що збереглося донині, нагадує єгипетське. Кількість відтворюється послідовністю цифр, що стоять підряд. Використовувались великі букви латиниці, вони позначали цифри 1, 5, 10, 50, 100 і 1000 й також входили до складу вказаної числової системи. 

Слов’янська система за зразком грецької замість цифр використовувала букви алфавіту – кирилиці або глаголиці. Х-ХVIII століття – предки-слов’яни користувалися комбінаціями із 27 літер.

Позиційна і змішана системи числення. Види цих систем

Змішана числова концепція відзначається наступними особливостями: запис будь-якої p-нної цифри відбувається з однаковою кількістю q-нних розрядів, які є достатніми для відображення будь-якого базового числа p-нної системи. Типовими прикладами зростаючої числової послідовності, представлення числа х у вигляді лінійної комбінації є системи:

• Фібоначчі – послідовність стартує від 0, 1; кожний наступний елемент є сумою 2-х попередніх. Третя складова послідовності дорівнює 1 (1=1+0), четверта – 2 (2=1+1), п’ята – 3 3 (3=2+1) і т. д.
• Факторіальна – виводиться із факторіалів.
• Біноміальна – послідовність, що застосовує біноміальні коефіцієнти.

Позиційна числова методика охоплює наступні підрозділи:

• Двійкова система числення – мова обчислювальної техніки. У ній використовуються всього 2 цифри – 0 і 1. Двійка становить основу методу. Принцип кодування інформації шляхом використання символів 0 і 1 – бінарний код. Розряд досягає своєї межі – з’являється новий розряд, а старий відразу обнуляється. Символ 10 означає два, 11 – три, 100 – чотири, 101 – п’ять. Двійковий запис числа може переводитись у десятковий і навпаки.
• Десяткова концепція числення є найбільш поширеною. Даний метод оперує цифрами від 0 до 9. Рахунок досягає 9 – вводиться новий розряд (десятки), одиниці обнуляються, відлік починається знову. Далі йдуть сотні, тисячі, десятки тисяч, сотні тисяч, мільйони, мільярди. Будь-яке число можна представити у вигляді суми одиниць, десятків, сотень і т. п.
• Вісімкова числова схема – типова система програмістів. Записи мають у розпорядженні 8 цифр – від 0 до 7. Кожному цифровому знаку відповідає набір 3 символів двійкової системи. Наприклад: 000 – 0, 001 – 1, 010 – 2, 011 – 3.
• Шістнадцяткова концепція – широко використовується у програмуванні. Оперує цифровими символами від 0 до 9, шістьма першими латинськими літерами – A-10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15. Двійкові знаки під час переводу у шістнадцяткові розбиваються на 4 розряди з кінця.

Переведення з однієї системи числення в іншу: способи, особливості

Числові перетворення – незамінний аспект роботи обчислювальної техніки, який застосовує машинну арифметику. Важливо знати принципи виконання подібних задач.

Різноманітні прийоми числових переводів визначаються відповідно до видів чисел. Операції проводяться з трьома типами чисел – цілими, від’ємними, дробовими. Необхідність перевести число між системами числення породжує правило №1: спочатку перетворити числовий символ у десяткову систему.

Розрахунки можна проводити вручну, самостійно розписуючи послідовності, або шляхом використання універсального електронного калькулятора.

Перевід систем числення легко та швидко здійснювати за допомогою смартфона, завантаживши та встановивши спеціальні додатки, наприклад, перевідник з десяткової в двійкову систему. Зручно користуватися онлайн калькулятором: https://math.semestr.ru/inf/index.php, https://fin-calc.org.ua/ua/calculator/conversion/notation/any/, https://planetcalc.ru/375/. Вписуємо основу числової концепції потрібного числа, потім – основу системи, у яку необхідно дане число перевести. Отримуємо результат.

Правила переведення цілих чисел

Розрізняють декілька методів числової трансформації. 

Перевід із десяткової в двійкову систему нескладний.

Варіант №1.

Здійснюємо ділення числа на основу необхідної системи числення (у даному випадку 2), поки в остачі не з’явиться число, менше від основи потрібної числової концепції.

Візьмемо число 984.

Ціла частина від поділу	Залишок від поділу
984 : 2 = 492	984 mod 2 = 0
492 : 2 = 246	492 mod 2 = 0
246 : 2 = 123	246 mod 2 = 0
123 : 2 = 61	123 mod 2 = 1
61 : 2 = 30	61 mod 2 = 1
30 : 2 = 15	30 mod 2 = 0
15 : 2 = 7	15 mod 2 = 1
7 : 2 = 3	7 mod 2 = 1
3 : 2 = 1	3 mod 2 = 1
1 : 2 = 0	1 mod 2 = 1

Записуємо отриманий залишок у зворотному порядку. Отримуємо 98410=11110110002.

Варіант №2

1. Знаходимо найближчий за результатом до 984 степінь числа 2, який не перевищує 984: 29=512.
2. Вираховуємо 512 із 984: 984-512= 472.

Повторюємо дії, поки не залишиться 1 або 0. 

У результаті отримуємо послідовність: 512+256+128+64+16+6+2=29 +28 +27 +26 +23 +21.

Далі відповідно до показників доданків (у зразку числа – 9, 8, 7, 6, 3, 1) розміщуємо одиниці за розрядами. У позиції, що залишились, вписуємо нулі. Або розписуємо доданки у вигляді степенів числа 2 в стовпчик, починаючи з більшого. 

Спробуємо перевести у двійкову систему число 98416. Користуємося таблицями відповідності систем числення:

9=1001, 8=1000, 4=0100. Таким чином, отримаємо 98416 =1001100001002.

Приклад трансформації із вісімкової схеми у десяткову.

Візьмемо числовий знак 438.  Для переведення необхідно помножити розряд числа на відповідний степінь розряду.

438 = 81*4 + 80*3 = 32 + 3 = 35

Особливості переведення від’ємних чисел

Даний тип числового перетворення передбачає поетапний алгоритм дій. 

Вводиться поняття зворотного коду – методу, що дає можливість вирахувати одне число з другого через додавання (для від’ємного числового знаку код вираховуємо з невід’ємного числа, інвертуючи біти: 0 – 1, 1 – 0); додаткового коду – найбільш популярного способу, який дозволяє зрівноважити процедури додавання і віднімання для знакових і беззнакових символів. Можливість перетворення десяткових числових знаків складає варіацію: -128 – +127. Також код дозволяє проводити з від’ємними числами арифметичні дії.

Розглянемо зразок отримання двійкового символу із числа -92.

Спочатку визначимо кінцевий розмір майбутнього числового знаку. Наприклад, 1 байт. Далі слід здійснити перетворення 92 у двійкову числову концепцію. 

92=1011100

Враховуємо восьмирозрядний розмір байта, тому до послідовності дописуємо 0. Виходить: 01011100.

Перетворюємо отриманий результат у зворотний код: нулі міняємо на одиниці і навпаки: 10100011.

Виводимо додатковий код шляхом доставлення одиниці: 10100100.

Приклади переведення дробових чисел

Класифікація дробів охоплює звичайні та десяткові види.

Перші включають числа, що складаються з однієї/декількох рівних частин одиниці. Міжсистемна трансформація даного виду дробів гранично проста: окремо здійснюємо перевід чисельника і знаменника, потім складаємо їх співвідношення. 

Десяткові дробові числа переводимо наступним чином: 

1. Орієнтуємося на основу необхідної концепції числення.
2. Потрібний дріб почергово множимо на основу нової системи, доки отримана дробова частина не стане рівною нулю.
3. Збираємо отримані цілі частини, потім розставляємо їх у відповідності до розрядів вибраної числової системи.
4. Ціла частина розташовується на позиції першого після коми розряду.

Наприклад, потрібно перевести в двійкову систему число 0,12396.

Розглянемо таблицю:

0,	12396
*2
0,	24792
*2
0,	49584
*2
0,	99168
*2
1,	98336

Отримуємо число у 2-ій системі числення: 0001

0.12396 = 0.00012

Міжсистемна трансформація двійкового знаку в десятковий має наступний алгоритм.

Треба перетворити числове позначення 10010.1012.

100102 = 24*1 + 23*0 + 22*0 + 21*1 + 20*0 = 16 + 0 + 0 + 2 + 0 = 18 (цілу частину множимо на відповідний степінь розряду).

1012 = 2-1*1 + 2-2*0 + 2-3*1 = 0.625 (дробову частину ділимо на відповідний степінь розряду).

Складаємо обидва значення: 10010.1012 =18, 625.