Одна из немногих формул, которую удается выучить к концу девятого класса практически всем ученикам, это формула нахождения дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения. И чаще всего для ученика эти формулы представляют собой набор заклинаний, не наполненных особым смыслом.
Общеизвестно, что графиком квадратичной функции является парабола, однако рискну предположить, что не каждый учитель сможет не задумываясь показать на графике отрезок, имеющий отношение к дискриминанту.
Слово "дискриминант" происходит от латинского discriminans, отделяющий, разделяющий.
Попробуем разобраться, что же разделяет (или "дискриминирует") дискриминант. Согласно любому современному учебнику алгебры восьмого класса формула корней квадратного уравнения выводится путем выделения квадрата двучлена. В процессе выделения получается выражение D = b^2-4ac, которое и называют дискриминантом. Пример из учебника алгебры Бевз Г.П. (2016 год):
Обосновывается это название следующим образом:
Если D < 0, то данное уравнение не имеет корней - ведь невозможно, чтобы квадрат некоторого вещественного выражения был отрицательным числом.
Если D = 0, то данное уравнение имеет один корень - ведь только квадрат нуля равен нулю.
Если D > 0, то данное уравнение имеет два корня.
В результате ученик вынужден заучивать не только формулы нахождения корней квадратного уравнения, но и эти три утверждения - взаимосвязь дискриминанта с количеством корней.
На мой взгляд, методически правильнее сначала довести разбор понятия "дискриминант" до логического конца, указав, что дискриминант равен квадрату расстояния между корнями уравнения.
Рассмотрим для простоты приведенное квадратного уравнение (напомню, что любое квадратное уравнение легко привести к приведенному виду, разделив все коэффициенты на старший коэффициент). Итак, с учетом теоремы Виета:
Таким образом, если корни приведенного квадратного уравнения существуют, то расстояние между ними равно корню из дискриминанта.
Грубо говоря, чем больше дискриминант, тем больше расстояние между корнями. Вот что показывает дискриминант - насколько далеки корни друг от друга, если они существуют. А связь с количеством корней - это всего лишь следствие этого простого факта.
Теперь взаимосвязь между дискриминантом и количеством корней ясна как на ладони: если дискриминант равен нулю, то расстояние между корнями равно нулю, они совпадают - два корня, образно говоря, наложились друг на друга и превратились в один корень. Далее, расстояние не может быть меньше нуля, а значит, при отрицательном дискриминанте корней нет. Если же дискриминант строго положителен, то корней два и расстояние между ними как раз и равно корню из дискриминанта.
Эти выводы интуитивно понятны и не требуют отдельного заучивания. Более того, понимание геометрического смысла дискриминанта помогает упростить и ускорить нахождение самих корней.
Начинающий ученик действует обычно по следующей схеме:
1) определяет коэффициенты уравнения;
2) записывает формулу дискриминанта, подставляет в нее значения коэффициентов, вычисляет значение;
3) извлекает квадратный корень из дискриминанта;
4) записывает формулу корней и поочередно вычисляет каждый из них.
Шаг 4 можно упростить, найдя меньший корень и затем для нахождения большего корня останется только прибавить корень из дискриминанта - а он у нас уже посчитан на шаге 3.
(В случае неприведенного квадратного уравнения нужно не забыть корень из дискриминанта разделить на старший коэффициент).
Вывод. Знание геометрического смысла дискриминанта квадратного уравнения позволяет ученикам получить наглядное представление о взаимосвязи корней и коэффициентов уравнения, упростить расчеты, уменьшить объем заучиваемой информации.
