Одна з небагатьох формул, яку вдається вивчити до кінця дев'ятого класу практично всім учням, це формула знаходження дискримінанта і формули коренів квадратного рівняння. І найчастіше для учня ці формули є набір заклинань, не наповнених особливим змістом.
Загальновідомо, що графіком квадратичної функції є парабола, проте ризикну припустити, що не кожен вчитель зможе не замислюючись показати на графіку відрізок, що має відношення до дискримінанта.
Слово "дискримінант" походить від латинського discriminans, що відокремлює, поділяє.
Спробуємо розібратися, що ж поділяє (або дискримінує) дискримінант. Відповідно до будь-якого сучасного підручника алгебри восьмого класу формула коренів квадратного рівняння виводиться шляхом виділення квадрата двочлена. У процесі виділення виходить вираз D = b^2-4ac, який і називають дискримінантом. Приклад із підручника алгебри Бевз Г.П. (2016 рік):
Обґрунтовується ця назва наступним чином:
- Якщо D < 0, то дане рівняння не має коріння - адже неможливо, щоб квадрат деякого речовинного виразу був негативним числом.
- Якщо D = 0, то дане рівняння має один корінь - адже квадрат нуля дорівнює нулю.
- Якщо D > 0, то дане рівняння має два корені.
В результаті учень змушений заучувати не тільки формули знаходження коренів квадратного рівняння, а й ці три твердження - взаємозв'язок дискримінанта з кількістю коренів.
На мій погляд, методично правильніше спочатку довести розбір поняття "дискримінант" до логічного кінця, вказавши, що дискримінант дорівнює квадрату відстані між корінням рівняння.
Розглянемо для простоти наведене квадратне рівняння (нагадаю, що будь-яке квадратне рівняння легко привести до наведеного виду, розділивши всі коефіцієнти на старший коефіцієнт). Отже, з урахуванням теореми Вієта:
Таким чином, якщо коріння наведеного квадратного рівняння існує, то відстань між ними дорівнює кореню з дискримінанта.
Грубо кажучи, чим більше дискримінант, тим більша відстань між корінням. Ось що показує дискримінант - наскільки далекі коріння один від одного, якщо вони існують. А зв'язок із кількістю коренів - це лише наслідок цього простого факту.
Тепер взаємозв'язок між дискримінантом і кількістю коренів зрозумілий як на долоні: якщо дискримінант дорівнює нулю, то відстань між корінням дорівнює нулю, вони збігаються - два корені, образно кажучи, наклалися один на одного і перетворилися на один корінь. Далі, відстань не може бути меншою за нуль, а значить, при негативному дискримінанті коренів немає. Якщо ж дискримінант суворо позитивний, то коріння два і відстань між ними якраз і дорівнює кореню з дискримінанта.
Ці висновки інтуїтивно зрозумілі і вимагають окремого заучування. Більше того, розуміння геометричного сенсу дискримінанта допомагає спростити і прискорити знаходження самого коріння.
Учень-початківець діє зазвичай за наступною схемою:
1) визначає коефіцієнти рівняння;
2) записує формулу дискримінанта, підставляє у ній значення коефіцієнтів, обчислює значення;
3) витягує квадратний корінь із дискримінанта;
4) записує формулу коренів і по черзі обчислює кожен із них.
Крок 4 можна спростити, знайшовши менший корінь і потім знаходження більшого кореня залишиться лише додати корінь з дискримінанта - а він у нас уже порахований на кроці 3.
(У разі ненаведеного квадратного рівняння не слід забути корінь з дискримінанта розділити на старший коефіцієнт).
Висновок. Знання геометричного сенсу дискримінанта квадратного рівняння дозволяє учням отримати наочне уявлення про взаємозв'язок коренів та коефіцієнтів рівняння, спростити розрахунки, зменшити обсяг інформації, що заучується.
