Теорія ймовірності – об’ємний і досить складний розділ математики. Під час роботи нам часто доводиться стикатися з необхідністю визначати ефективність та прогнозувати результати, скажімо, для побудови маркетингових стратегій та інших завдань. У статті викладена суть та основні формули ймовірності, які допоможуть зорієнтуватися в цій математичній галузі та застосовувати її на практиці.
Що таке теорія ймовірності?
Підсумком проведених досліджень щодо впливу випадковості і невизначеності на соціальні, поведінкові та фізичні явища став розділ математики, присвячений теорії ймовірності. У кількісному еквіваленті ймовірність визначається числом від 0 до 1, де 0 означає цілковиту неможливість події, а 1 – стовідсоткову певність того, що подія відбудеться. Чим більше це число буде наближатися до 1, тим більша ймовірність настання певних подій. Ймовірність також вимірюється за шкалою від 0 до 100%.
Простим прикладом ймовірності є жеребкування: випадання орла чи решки однакові за ступенем ймовірності, оскільки інших наслідків такого підкидання монети не передбачено. На практиці теорія ймовірності використовується для моделювання ситуацій, коли в однакових умовах внаслідок одних і тих самих дій маємо різні результати.
Результат підкидання монети є випадковим. Випадкові події не можна повністю спрогнозувати, однак усі вони мають довготривалі закономірності, які ми можемо описати і кількісно оцінити за допомогою ймовірності.
Розглянемо три основні теорії.
Однаково ймовірні результати
Немає жодних причин стверджувати, що ймовірність одного результату події має перевагу перед іншими результатами. Уявімо посудину з однаковими кульками, які ретельно перемішали. Гравцеві пропонують витягти одну з кульок, водночас ймовірність вибору кожної з кульок буде однаковою. Якщо задана ситуація має кількість результатів, яка дорівнює n, то ймовірність кожного результату становить 100%/n.
Теорія частоти
За цією теорією, ймовірність – це межа відносної частоти, з якою подія відбувається у повторюваних умовах. Твердження «ймовірність того, що А відбудеться, дорівнює р%» в цьому випадку означає: якщо ви повторюєте експеримент знову і знову, незалежно і в приблизно однакових умовах, процент часу, коли А відбудеться, наближається до р. Відносна частота розраховується виключно після проведених дослідів на основі фактично отриманих даних.
Якщо ряд експериментів проводиться в незмінних умовах, то відносна частота набуває стійкості, тобто варіюється в межах незначних відмінностей. Так, професійний лучник здійснив 100 пострілів і з них потрапив у мішень 90 разів. Його ймовірність потрапляння в ціль за певних умов становить 0,9. Якщо за свою кар’єру він здійснив 10511 вистрілів, з яких потрапив у ціль 9846 раз, відносна частота дорівнює 9846/10511=0,9367. Цей показник і враховуватиметься для прогнозування результату лучника у майбутніх змаганнях.
Суб’єктивна теорія
Такий тип ймовірності застосовується в процесі прийняття рішень з метою надалі прогнозувати поведінку людини. Він не має статистичної характеристики. У такому разі ймовірністю є ступінь перевірки особою певного твердження. Наприклад, доцільність інвестування коштів у різні ризикові проєкти, участі у лотереї, планування запасів ліків у медичних закладах тощо. Суб’єктивна ймовірність визначається за допомогою відповідних місцевих експертиз.
Читайте також: Як написати СV для вступу за кордон?
Як розрахувати ймовірність?
Якщо вам потрібно застосувати теорію ймовірності на практиці, можете скористатися наступним алгоритмом розрахунків:
- Визначте одну подію з одним результатом. Спочатку необхідно визначитися із ймовірністю, яку ви хочете розрахувати. Наприклад, вам потрібно дізнатися ймовірність того, що в результаті кидання кубика випаде двійка.
- Дізнайтеся загальну кількість сценаріїв події, які можуть настати. Під час першого кроку ви визначили подію. Якщо звернутися до прикладу з киданням грального кубика, то загальна кількість сценаріїв дорівнює шести, оскільки на кубику шість чисел. Отже, випадіння двійки може мати шість різних сценаріїв.
- Поділіть кількість подій на кількість можливих сценаріїв. Випадіння двійки під час першого кидання кубика – це одна подія. У такий спосіб, ймовірність випадіння двійки з першого разу становить 1/6, а ймовірність того, що двійка не випаде, дорівнює 5/6. Шанси випадіння двійки розраховуються як ділення 1/6 на 5/6. В результаті отримуємо 1/5 або 20% – шанс випадіння двійки під час першого кидка.
А як розрахувати ймовірність з кількома випадковими подіями? Ваші кроки наступні:
- Визначте кожну з подій, з якими ви будете працювати. Скажімо, вам треба знайти ймовірність випадання четвірки на кожному з двох різних кубиків.
- Розрахуйте ймовірність для кожної події окремо. Вона становитиме 1/6. Це дозволить визначити також ймовірність одночасного випадіння четвірки на двох кубиках.
- Перемножте всі ймовірності. В нашому прикладі з кубиком 1/6×1/6 = 1/36 – шанси, що четвірка випаде на двох кубиках одночасно.
Розглянемо це наочно за допомогою схеми:
Якщо вам складно розібратися з теорією ймовірності самостійно, завжди можна звернутися до репетитора. Професійний педагог покаже, як ця теорія працює для вирішення реальних життєвих і професійних завдань. Ви зможете не лише відкрити для себе цей корисний розділ математики, а й застосовувати його в роботі та практичних ситуаціях. Знайти викладача допоможе сервіс BUKI, де швидко та результативно можна підібрати педагога під ваші потреби.
Формула ймовірності: приклади
Класична ілюстрація ймовірності виглядає так:
за умови, що .
Приклад 1
Цю формулу застосовуємо у теоремі додавання ймовірностей. Наприклад: у скриньці знаходиться 50 карток, з них 15 мають малюнки, а 8 – написані на них слова. Решта 27 без жодних зображень. Після перемішування зі скриньки наосліп дістають картку. Яка ймовірність того, що вийнята картка матиме зображення?
Р(С) = Р(А) + Р(В) = 15/50 + 8/50 = 23/50, або 0,46.
Приклад 2 – задачі на протилежні події. Є два гральні кубики, які кидають один раз. Потрібно розрахувати ймовірність того, що принаймні один раз випаде цифра 6.
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ), де А – це можливість такого випадання на першому кубику, В – можливість випадання на другому кубику.
1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36.
Приклад 3
Є скринька з 6 жовтими і 4 зеленими кубиками. Необхідно визначити ймовірність витягання жовтого кубика з другого разу за умови, що першим дістали зелений кубик. Маємо справу з умовною ймовірністю. Спочатку визначимо: Далі за формулою:
Отримаємо:
Приклад 4
Звернемося до теореми множення ймовірностей. Маємо числа від 1 до 13. Відомо, що вибране з цієї послідовності число парне. Необхідно знайти ймовірність того, що це число буде кратне 3.
Формула ймовірності матиме такий вигляд:
Приклад 5
У магазині реалізується продукція трьох фірм, і частка кожної становить: 1-ї фірми – 50%, 2-ї фірми – 30%, 3-ї фірми – 20%. Для продукції кожної з фірм брак становить: для 1-ї фірми – 2%, для 2-ї фірми – 3%, для 3-ї фірми – 5%. Яка ймовірність того, що навмання придбана в магазині одиниця продукції має хорошу якість?
Події-гіпотези H1, H2, H3 – несумісні й утворюють повну групу, а їх ймовірності становлять: P(H1) = 0,5; Р(Н2) = 0,3; Р(Н3) = 0,2.
Відповідні умовні ймовірності події А становлять:
P(A|H1) = 1− 0,02= 0,98;
P(A|H2 ) = 1 – 03 = 0,97;
P(A|H3) = 1 – 0,05= 0,95.
Далі за формулою повної ймовірності маємо: P(A) = 5,0 ⋅ 98,0 + 3,0 ⋅ 97,0 + 2,0 ⋅ 95,0 = 0, 971.
