Площадь прямоугольника: формула и примеры решения задач

Формула площади прямоугольника

Площадь - это величина, которая показывает, какую часть плоскости занимает фигура. Для прямоугольника она равна произведению двух соседних сторон:

S = a × b

где S - площадь, a - длина, b - ширина. Если стороны измерены в сантиметрах, площадь записывают в квадратных сантиметрах (см²); если в метрах - в квадратных метрах (м²).

Ситуация	Формула	Объяснение
Известны две стороны	S = a × b	Умножить длину и ширину.
Известны площадь и сторона a	b = S ÷ a	Разделить площадь на известную сторону.
Известны периметр и сторона a	b = P ÷ 2 - a	Сначала найти сумму двух соседних сторон.
Квадрат	S = a²	Умножить сторону саму на себя.

Как найти сторону, если известна площадь?

Если известны площадь прямоугольника и одна из сторон, вторую сторону можно найти из формулы S = a × b. Для этого площадь нужно разделить на известную сторону:

b = S ÷ a

Например, если S = 48 см², а a = 8 см, то b = 48 ÷ 8 = 6 см.

Площадь и периметр прямоугольника

Площадь и периметр - разные величины. Площадь показывает размер поверхности внутри фигуры, а периметр - сумму длин всех ее сторон.

P = 2 × (a + b)

Например, если длина прямоугольника 5 см, а ширина 3 см, то P = 2 × (5 + 3) = 16 см. Площадь этого же прямоугольника равна S = 5 × 3 = 15 см².

Если известны периметр P и сторона a, вторую сторону можно найти так: b = P ÷ 2 - a.

Площадь квадрата

Квадрат - это отдельный вид прямоугольника, у которого все стороны имеют одинаковую длину, а все углы прямые. Его диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся пополам в точке пересечения и делят углы квадрата пополам.

Периметр квадрата равен P = 4 × a. Площадь квадрата определяется как квадрат длины его стороны:

S = a²

Например, если сторона квадрата равна 5 см, то его площадь составляет 5² = 25 см², а периметр - 20 см.

Примеры задач

Учащимся важно не только запомнить формулы площади прямоугольника и квадрата, но и научиться применять их в задачах разного уровня сложности. Ниже сохраняем подборку задач из действующей статьи, уточнив вычисления и объяснения.

Задача № 1

Условие: длины сторон AB и BC прямоугольника ABCD относятся как 2:5, а периметр равен 28 см. Найдите длину большей стороны.

Обозначим AB = 2x, BC = 5x. Тогда 2 × (2x + 5x) = 28, отсюда 14x = 28 и x = 2. Большая сторона BC = 5 × 2 = 10 см.

Ответ: 10 см.

Задача № 2

Условие: длина прямоугольника вдвое больше ширины, а площадь равна 96 м². Найдите длину и ширину прямоугольника.

Пусть ширина равна b, тогда длина - 2b. По формуле площади: 2b × b = 96, то есть 2b² = 96 и b² = 48. Поскольку длина стороны положительна, b = √48 = 4√3 ≈ 6,93 м. Тогда a = 8√3 ≈ 13,86 м.

Ответ: ширина 4√3 м (примерно 6,93 м), длина 8√3 м (примерно 13,86 м).

Задача № 3

Условие: в прямоугольнике ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M. BM : MC = 4 : 5, а BC = 18 см. Найдите площадь прямоугольника.

Так как BM + MC = 18 см, получаем 4x + 5x = 18, откуда x = 2. Поэтому BM = 8 см, MC = 10 см. Угол A прямой, а AM - его биссектриса, поэтому ∠BAM = 45°. В треугольнике ABM угол ABM = 90°, значит ∠BMA = 45° и AB = BM = 8 см. Площадь прямоугольника S = AB × BC = 8 × 18 = 144 см².

Ответ: 144 см².

Задача № 4

Условие: найдите сторону квадрата, площадь которого равна 144 см².

Так как S = a², то a = √S = √144 = 12 см.

Ответ: 12 см.

Задача № 5

Условие: прямоугольник и квадрат имеют одинаковые площади. Сторона квадрата равна 6 см, а одна из сторон прямоугольника - 9 см. Найдите вторую сторону прямоугольника.

Площадь квадрата S = 6² = 36 см². Площадь прямоугольника также равна 36 см². Поэтому вторая сторона равна 36 ÷ 9 = 4 см.

Ответ: 4 см.

Задача № 6

Условие: одна сторона прямоугольника равна 5 см, а диагональ - 13 см. Найдите площадь прямоугольника.

Диагональ и две стороны образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора вторая сторона равна √(13² - 5²) = √144 = 12 см. Тогда S = 5 × 12 = 60 см².

Ответ: 60 см².

Задача № 7

Условие: сколько квадратных плиток размером 25 × 25 см нужно, чтобы выложить прямоугольную стену размером 1,5 × 2 м? Считаем, что плитки укладываются без зазоров и подрезки.

Площадь одной плитки: 25 × 25 = 625 см². Площадь стены: 1,5 × 2 = 3 м² = 30 000 см². Количество плиток: 30 000 ÷ 625 = 48.

Ответ: 48 плиток.

Типичные ошибки

• Путать площадь с периметром: площадь измеряется в квадратных единицах, а периметр - в обычных единицах длины.
• Перемножать длины, записанные в разных единицах. Перед вычислением обе стороны нужно перевести в одинаковые единицы.
• Забывать квадрат в формуле площади квадрата: S = a², а не S = 2a.
• Не указывать квадратные единицы в ответе: см², м², км² и т. д.
• Использовать формулу S = a × b до того, как найдены обе стороны прямоугольника.

Если задачи на площадь, периметр или другие темы по геометрии пока даются непросто, их можно разобрать с репетитором по математике. Для подготовки к вступительному тестированию также пригодится материал о подготовке к НМТ по математике.

Читайте также

• Квадратные уравнения: виды, свойства и способы решения
• Геометрическая прогрессия: формулы, свойства и примеры
• Репетиторы по математике
• Подготовка к НМТ по математике