Прямоугольник является одной из базовых геометрических фигур. Чтобы научиться находить площадь прямоугольника, сначала необходимо узнать про его важные особенности. В этой статье рассмотрим основные свойства этой фигуры, формулу периметра, площади прямоугольника, решим задачи на нахождение площади.
Прямоугольник: что это за фигура?
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны, а все углы прямые и равные. Такая характеристика позволяет легко найти прямоугольник среди других фигур: достаточно знать, что у фигуры четыре стороны и все углы прямые.
У прямоугольников следующие основные особенности:
- Противоположные стороны равны.
- Все углы прямые (равны 90°).
- Сумма внутренних углов – 360°.
- Диагонали имеют одинаковую длину.
- Диагонали прямоугольника пересекаются в центре фигуры и точкой пересечения делятся пополам.
Формула площади прямоугольника и его периметр
Периметр прямоугольника – это сумма всех его сторон. Формула для вычисления периметра прямоугольника проста: P = 2*(a + b), где a и b — длины противоположных сторон прямоугольника.
К примеру, если длина прямоугольника 5 сантиметров, а ширина 3 сантиметра, то его периметр будет P = 2*(5 + 3) = 16 сантиметров.
Площадь прямоугольника – это та часть плоскости, которую занимает эта фигура. Площадь прямоугольника – это обязательно положительное число. Площадь измеряется в следующих единицах:
Площадь прямоугольника определяется как произведение его длины и ширины. Формула для вычисления площади прямоугольника проста:
- S = a * b, где a и b – длина и ширина прямоугольника соответственно.
Определение и площадь квадрата
Квадрат – это разновидность прямоугольника, у которого все стороны имеют одинаковую длину, а все углы прямые. У квадрата есть такие особенности, которые позволяют отличить его от других фигур:
- Все стороны равны между собой.
- Все углы прямые.
- Диагонали квадрата имеют одинаковую длину и взаимно перпендикулярны.
- Диагонали пересекаются в центре фигуры под прямым углом.
- Диагонали квадрата делят его углы пополам.
Периметр квадрата – это сумма всех его сторон. К примеру, если сторона квадрата имеет длину 5 см, то его периметр будет P = 4 * 5 = 20 см.
Площадь квадрата определяется как квадрат длины любой его стороны. Формула для вычисления площади квадрата проста: S = a2, где а – длина любой стороны квадрата.
Задачи по теме «Площадь прямоугольника и квадрата»
Учащимся важно не только запомнить формулы вычисления площади квадрата и прямоугольника, но и научиться решать задачи разных уровней сложности с применением этих формул.
Задача № 1
Условие: Длины сторон АВ и ВС прямоугольника АВСD соотносятся как 2:5. А периметр прямоугольника равен 28 см. Определите длину большей стороны прямоугольника.
Краткая запись: сторону АВ обозначаем 2х, а сторону ВС – 5х.
P = 28 см.
Решение: с учетом того, что противоположные стороны прямоугольника равны, составляем уравнение:
2х + 2х + 5х + 5х = 28
14х = 28
х = 2
Далее находим сторону ВС: 2*5=10.
Ответ: 10 см – длина большей стороны прямоугольника.
Задача№ 2
Условие: У прямоугольника длина вдвое больше ширины, а площадь равна 96 квадратным метрам. Найдите длину и ширину прямоугольника.
Краткая запись:
Ширина прямоугольника - b;
Длина прямоугольника - 2b.
Площадь прямоугольника = a * b = 96 м2.
Решение: Из формулы площади прямоугольника (a * b = 96) следует, что 2b * b = 96. Решив это уравнение, определим, что b=8 метров, a=16 метров.
Ответ: Длина прямоугольника – 16 метров, ширина – 8 метров.
Задача № 3
Условие: В прямоугольнике АВСD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М. ВМ : МС = 4:5. Найдите площадь прямоугольника, если ВС = 18 см.
Справка: Биссектриса угла – это прямая линия, которая делит заданий угол на два равные углы или, другими словами, разделяет его на две равные части. Биссектриса угла всегда проходит через вершину угла и делит его на две части, имеющие равные углы между собой.
Объяснение: в условии есть отношение, поэтому вводится коэффициент пропорциональности х.
ВМ = 4ч.
МС = 5х.
А вся сторона ВС = 18 см. Можно составить уравнение.
Решение:
- 4х + 5Х =18
9х = 18
х = 2. - ВМ = 4*2 = 8 (см)
- МС = 5*2 = 10 (см)
- АМ – биссектриса, ВС и АD – параллельные, АМ – это секущая, углы ВАМ и ВМА являются внутренне разносторонними. Треугольник АВМ равнобедренный, стороны АВ и ВМ равны, по 8 см.
- Площадь прямоугольника = 8*18 = 144 (см2)
Ответ: 144 см2.
Задача № 4
Условие: Как найти сторону квадрата, площадь которого равно 144 см2?
Объяснение: Формула площади квадрата – это длина любой его стороны в квадрате. Из этого следует, что длина стороны равна корню площади.
Ответ: 12 см – длина стороны квадрата.
Задача № 5
Условие: Прямоугольник и квадрат имеют равные площади. Сторона квадрата – 6 см, а одна из сторон прямоугольника – 9 см. Необходимо найти вторую сторону прямоугольника.
Пояснение: Поскольку сторона квадрата известна, можно найти его площадь. А из условия известно, что площади квадрата и прямоугольника равны, поэтому эту площадь делим на известную сторону прямоугольника и узнаем длину второй стороны.
Решение: 1) S квадрата = 62 = 36 см2
2) 36: 9 = 4 см – длина второй стороны прямоугольника.
Ответ: 4 см.
Задача № 6
Условие: Как найти площадь прямоугольника, если его сторона равна 5 см, а диагональ – 13 см?
Объяснение: пусть дан прямоугольник ABCD, у которого сторона АВ равна 5 см, а диагональ АС – 13 см.
Чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо знать длины его сторон. Поэтому рассматриваем прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Его гипотенуза АС равна 13 см, а катет АВ — 5 см. По теореме Пифагора, катет ВС равен:
Найдена неизвестная сторона прямоугольника BC. Теперь можно найти площадь прямоугольника:
S=АВ*ВС=5*12=60 см2.
Ответ: 60 см2.
Задача № 7
Сколько керамических плиток размером 25 на 25 см нужно, чтобы выложить стену в ванной комнате, имеющую размеры 1,5 м на 2 м.
Объяснение: сначала необходимо найти площадь одной плиточки. Далее находим площадь стены прямоугольной формы по формуле площади прямоугольника. После этого площадь стены необходимо перевести в такие же единицы измерения, как и у площади плитки. Последнее действие – нахождение количества плиток (площадь стены делим на площадь одной плитки).
Решение: 1) S плиточки = 25*25 = 625 (см2).
2) S стены = 1,5*2 = 3 (м2).
3) S стены = 3*10000 см2 = 30000 см2
4) N плиток = 30000 см2:625 см2 = 48 плиток
Ответ: 48.
Из приведенных задач можно понять, что задача из этой темы могут быть несложны, но могут быть и более сложного уровня, где необходимо применять теорему Пифагора или свойства биссектрисы угла. Поэтому важно хорошо усвоить базовые площади прямоугольника и квадрата, другие понятия по геометрии. Помочь разобраться с определенными темами, подготовиться к важной контрольной или НМТ может репетитор по математике.
Учитель узнает ваши цели и темы, с которыми вам было сложно самостоятельно разобраться. С учетом этой информации разработает индивидуальный план занятий. На уроках преподаватель будет объяснять не только с помощью учебника, но и с помощью современных технологий, например, интересных роликов про математику из TikTok. Такой подход к изучению школьных дисциплин позволит учащемуся лучше понять материал.
Найти репетитора по математике или другому предмету можно на сайте BUKI.
