Площа прямокутника дорівнює добутку його довжини на ширину: S = a × b, де a і b - сторони прямокутника. Наприклад, якщо довжина 8 см, а ширина 5 см, то площа дорівнює 8 × 5 = 40 см².
Що таке прямокутник?
Прямокутник є однією з базових геометричних фігур. Прямокутник - це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні й рівні, а всі кути прямі. Щоб навчитися знаходити його площу й розв’язувати задачі, корисно пам’ятати основні властивості цієї фігури.
У прямокутника є такі основні властивості:
- Протилежні сторони рівні.
- Усі кути прямі й дорівнюють 90°.
- Сума внутрішніх кутів дорівнює 360°.
- Діагоналі мають однакову довжину.
- Діагоналі перетинаються в одній точці й діляться цією точкою навпіл.
Формула площі прямокутника
Площа - це величина, яка показує, яку частину площини займає фігура. Для прямокутника вона дорівнює добутку двох сусідніх сторін:
S = a × b
де S - площа, a - довжина, b - ширина. Якщо сторони виміряні в сантиметрах, площу записують у квадратних сантиметрах (см²); якщо в метрах - у квадратних метрах (м²).
| Ситуація | Формула | Пояснення |
| Відомі дві сторони | S = a × b | Перемножити довжину і ширину. |
| Відома площа і сторона a | b = S ÷ a | Поділити площу на відому сторону. |
| Відомий периметр і сторона a | b = P ÷ 2 - a | Спочатку знайти суму двох сусідніх сторін. |
| Квадрат | S = a² | Помножити сторону саму на себе. |
Як знайти сторону, якщо відома площа?
Якщо відома площа прямокутника і одна зі сторін, другу сторону можна знайти з формули S = a × b. Для цього площу потрібно поділити на відому сторону:
b = S ÷ a
Наприклад, якщо S = 48 см², а a = 8 см, то b = 48 ÷ 8 = 6 см.
Площа і периметр прямокутника
Площа й периметр - різні величини. Площа показує розмір поверхні всередині фігури, а периметр - суму довжин усіх її сторін.
P = 2 × (a + b)
Наприклад, якщо довжина прямокутника 5 см, а ширина 3 см, то P = 2 × (5 + 3) = 16 см. Площа цього самого прямокутника дорівнює S = 5 × 3 = 15 см².
Якщо відомі периметр P і сторона a, другу сторону можна знайти так: b = P ÷ 2 - a.
Площа квадрата
Квадрат - це окремий вид прямокутника, у якого всі сторони мають однакову довжину, а всі кути прямі. Його діагоналі рівні, взаємно перпендикулярні, діляться навпіл у точці перетину й ділять кути квадрата навпіл.
Периметр квадрата дорівнює P = 4 × a. Площа квадрата визначається як квадрат довжини його сторони:
S = a²
Наприклад, якщо сторона квадрата дорівнює 5 см, то його площа становить 5² = 25 см², а периметр - 20 см.
Приклади задач
Учням важливо не тільки запам’ятати формули площі прямокутника й квадрата, а й навчитися використовувати їх у задачах різного рівня складності. Нижче залишаємо добірку задач із чинної статті, але з уточненими обчисленнями й поясненнями.
Задача № 1
Умова: довжини сторін AB і BC прямокутника ABCD відносяться як 2:5, а периметр дорівнює 28 см. Знайдіть довжину більшої сторони.
Позначимо AB = 2x, BC = 5x. Тоді 2 × (2x + 5x) = 28, звідси 14x = 28 і x = 2. Більша сторона BC = 5 × 2 = 10 см.
Відповідь: 10 см.
Задача № 2
Умова: довжина прямокутника вдвічі більша за ширину, а площа дорівнює 96 м². Знайдіть довжину й ширину прямокутника.
Нехай ширина дорівнює b, тоді довжина - 2b. За формулою площі: 2b × b = 96, тобто 2b² = 96 і b² = 48. Оскільки довжина сторони додатна, b = √48 = 4√3 ≈ 6,93 м. Тоді a = 8√3 ≈ 13,86 м.
Відповідь: ширина 4√3 м (приблизно 6,93 м), довжина 8√3 м (приблизно 13,86 м).
Задача № 3
Умова: у прямокутнику ABCD бісектриса кута A перетинає сторону BC у точці M. BM : MC = 4 : 5, а BC = 18 см. Знайдіть площу прямокутника.
Оскільки BM + MC = 18 см, маємо 4x + 5x = 18, звідси x = 2. Тому BM = 8 см, MC = 10 см. Кут A прямий, а AM - його бісектриса, тому ∠BAM = 45°. У трикутнику ABM кут ABM = 90°, отже ∠BMA = 45° і AB = BM = 8 см. Площа прямокутника S = AB × BC = 8 × 18 = 144 см².
Відповідь: 144 см².
Задача № 4
Умова: знайдіть сторону квадрата, площа якого дорівнює 144 см².
Оскільки S = a², то a = √S = √144 = 12 см.
Відповідь: 12 см.
Задача № 5
Умова: прямокутник і квадрат мають однакові площі. Сторона квадрата дорівнює 6 см, а одна зі сторін прямокутника - 9 см. Знайдіть другу сторону прямокутника.
Площа квадрата S = 6² = 36 см². Площа прямокутника також 36 см². Тому друга сторона дорівнює 36 ÷ 9 = 4 см.
Відповідь: 4 см.
Задача № 6
Умова: одна сторона прямокутника дорівнює 5 см, а діагональ - 13 см. Знайдіть площу прямокутника.
Діагональ і дві сторони утворюють прямокутний трикутник. За теоремою Піфагора друга сторона дорівнює √(13² - 5²) = √144 = 12 см. Тоді S = 5 × 12 = 60 см².
Відповідь: 60 см².
Задача № 7
Умова: скільки квадратних плиток розміром 25 × 25 см потрібно, щоб викласти прямокутну стіну розміром 1,5 × 2 м? Вважаємо, що плитки кладуть без проміжків і підрізання.
Площа однієї плитки: 25 × 25 = 625 см². Площа стіни: 1,5 × 2 = 3 м² = 30 000 см². Кількість плиток: 30 000 ÷ 625 = 48.
Відповідь: 48 плиток.
Типові помилки
- Плутати площу з периметром: площа вимірюється у квадратних одиницях, а периметр - у звичайних одиницях довжини.
- Множити довжини, записані в різних одиницях. Перед обчисленням обидві сторони потрібно перевести в однакові одиниці.
- Забувати квадрат у формулі площі квадрата: S = a², а не S = 2a.
- Не вказувати квадратні одиниці у відповіді: см², м², км² тощо.
- Використовувати формулу S = a × b до того, як знайдено обидві сторони прямокутника.
Якщо задачі на площу, периметр або інші теми з геометрії поки даються непросто, їх можна розібрати з репетитором з математики. Для підготовки до вступного тестування також стане в пригоді матеріал про підготовку до НМТ з математики.
Читайте також
Сподобалась стаття? Оцініть
3.8
На основі відгуків 10 користувачів
Автор Олена Бойчук
У 2019 році закінчила магістратуру філологічного факультету Донецького Національного Університету імені Василя Стуса. Співпрацювала з міжнародними компаніями, пишу інформаційні статті
