Прямокутник є однією з фундаментальних геометричних фігур. Щоб навчитися знаходити площу прямокутника, спочатку необхідно дізнатися важливі особливості прямокутника. У цій статті розглянемо основні властивості цієї фігури, формулу периметра, площі прямокутника, розв’яжемо задачі на знаходження площі.
Прямокутник: що це за фігура?
Прямокутник – це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні та всі кути прямі й рівні. Така характеристика дає змогу легко знайти прямокутник серед інших фігур: достатньо знати, що у фігури чотири сторони та всі кути прямі.
У прямокутників такі основні особливості:
- Протилежні сторони рівні.
- Усі кути прямі (дорівнюють 90°).
- Сума внутрішніх кутів – 360°.
- Діагоналі мають однакову довжину.
- Діагоналі прямокутника перетинаються в центрі фігури й точкою перетину поділяються навпіл.
Формула площі прямокутника та його периметр
Периметр прямокутника – це сума всіх його сторін. Формула для обчислення периметра прямокутника проста: P = 2*(a + b), де a та b – довжини протилежних сторін прямокутника.
Наприклад, якщо довжина прямокутника 5 сантиметрів, а ширина 3 сантиметри, то його периметр буде P = 2*(5 + 3) = 16 сантиметрів.
Площа прямокутника – це та частина площини, яку займає ця фігура. Площа прямокутника – це обов’язково додатне число. Площа вимірюється в таких одиницях:
Площа прямокутника визначається як добуток його довжини та ширини. Формула для обчислення площі прямокутника проста:
- S = a * b, де a та b – довжина та ширина прямокутника відповідно.
Визначення і площа квадрата
Квадрат – це різновид прямокутника, у якого всі сторони мають однакову довжину, а всі кути прямі. У квадрата є такі особливості, які дають змогу відрізнити його від інших фігур:
- Усі сторони рівні між собою.
- Усі кути прямі.
- Діагоналі квадрата мають однакову довжину і є взаємно перпендикулярними.
- Діагоналі перетинаються в центрі фігури під прямим кутом.
- Діагоналі квадрата ділять його кути навпіл.
Периметр квадрата – це сума довжин усіх його сторін. Наприклад, якщо сторона квадрата має довжину 5 см, то його периметр буде P = 4 * 5 = 20 см.
Площа квадрата визначається як квадрат довжини будь-якої його сторони. Формула для обчислення площі квадрата проста: S = a2, де а – довжина будь-якої сторони квадрата.
Задачі з теми «Площа прямокутника й квадрата»
Учням важливо не тільки запам’ятати формули обчислення площі прямокутника й квадрата, а й навчитися розв’язувати задачі різних рівнів складності із застосуванням цих формул.
Задача № 1
Умова: Довжини сторін АВ і ВС прямокутника АВСD співвідносяться як 2:5. А периметр прямокутника дорівнює 28 см. Визначте довжину більшої сторони прямокутника.
Короткий запис: сторону АВ позначаємо 2х, а сторону ВС – 5х.
P = 28 см.
Розв’язання: з урахуванням того, що протилежні сторони прямокутника рівні, складаємо рівняння:
2х + 2х + 5х + 5х = 28
14х = 28
х = 2
Далі знаходимо сторону ВС: 2 * 5 = 10.
Відповідь: 10 см – довжина більшої сторони прямокутника.
Задача № 2
Умова: У прямокутника довжина вдвічі більша за ширину, а площа дорівнює 96 квадратних метрів. Знайдіть довжину й ширину прямокутника.
Короткий запис:
Ширина прямокутника – b;
Довжина прямокутника – 2b.
Площа прямокутника = a * b = 96 м2.
Розв’язання: З формули площі прямокутника площі (a * b = 96) випливає, що 2b * b = 96. Розв’язавши це рівняння, визначимо, що b = 8 метрів, a = 16 метрів.
Відповідь: Довжина прямокутника – 16 метрів, ширина – 8 метрів.
Задача № 3
Умова: У прямокутнику АВСD бісектриса кута А перетинає сторону ВС у точці М. ВМ: МС = 4:5. Обчисліть площу прямокутника, якщо ВС = 18 см.
Довідка: Бісектриса кута – це пряма лінія, яка ділить заданий кут на два рівні кути або, іншими словами, розділяє його на дві рівні частини. Бісектриса кута завжди проходить через вершину кута та ділить його на дві частини, які мають рівні кути між собою.
Пояснення: в умові є відношення, тому вводиться коефіцієнт пропорційності х.
ВМ = 4х.
МС = 5х.
А вся сторона ВС = 18 см. Можна скласти рівняння.
Розв’язання:
- 4х + 5Х =18
9х = 18
х = 2. - ВМ = 4*2 = 8 (см)
- МС = 5*2 = 10 (см)
- АМ – бісектриса, ВС і АD – паралельні, АМ – це січна, кути ВАМ і ВМА є внутрішньо різносторонніми. Трикутник АВМ є рівнобедреним, сторони АВ і ВМ рівні, по 8 см.
- Площа прямокутника = 8*18 = 144 (см2)
Відповідь: 144 см2.
Задача № 4
Умова: Як знайти сторону квадрата, площа якого дорівнює 144 см2?
Пояснення: Формула площі квадрата – це довжина будь-якої його сторони у квадраті. Із цього випливає, що довжина сторони дорівнює кореню площі.
Відповідь: 12 см – довжина сторони квадрата.
Задача № 5
Умова: Прямокутник і квадрат мають рівні площі. Сторона квадрата – 6 см, а одна зі сторін прямокутника – 9 см. Необхідно знайти другу сторону прямокутника.
Пояснення: Оскільки сторона квадрата відома, можна знайти його площу. А з умови відомо, що площі квадрата і прямокутника рівні, тому цю площу ділимо на відому сторону прямокутника й дізнаємося довжину другої сторони.
Розв’язання: 1) S квадрата = 62 = 36 см2
2) 36: 9 = 4 см – довжина другої сторони прямокутника.
Відповідь: 4 см.
Задача № 6
Умова: Як знайти площу прямокутника, якщо його сторона дорівнює 5 см, а діагональ – 13 см?
Пояснення: нехай дано прямокутник ABCD, у якого сторона АВ дорівнює 5 см, а діагональ АС – 13 см.
Щоб знайти площу прямокутника, необхідно знати довжини його сторін. Тому розглядаємо прямокутний трикутник АВС із прямим кутом В. Його гіпотенуза АС дорівнює 13 см, а катет АВ – 5 см. За теоремою Піфагора, катет ВС дорівнює:
Знайдено невідому сторону прямокутника BC. Тепер можна знайти площу прямокутника:
S = AB * BC = 5 *12 = 60 см2.
Відповідь: 60 см2.
Задача № 7
Умова: Скільки керамічних плиток розміром 25 на 25 см потрібно, щоб викласти стіну у ванній кімнаті, що має розміри 1,5 м на 2 м.
Пояснення: спочатку необхідно знайти площу однієї плиточки. Далі знаходимо площу стіни прямокутної форми за формулою площі прямокутника. Після цього площу стіни необхідно перевести в такі ж одиниці виміру, як і в площі плитки. Остання дія – знаходження кількості плиток (площу стіни ділимо на площу однієї плитки).
Розв’язання: 1) S плиточки = 25 * 25 = 625 (см2).
2) S стіни = 1,5 * 2 = 3 (м2).
3) S стіни = 3 * 10000 см2 = 30000 см2
4) N плиток = 30000 см2: 625 см2 = 48 плиток
Відповідь: 48.
З наведених задач можна зрозуміти, що завдання із цієї теми можуть бути нескладні, але можуть бути й складнішого рівня, де необхідно застосовувати теорему Піфагора або властивості бісектриси кута. Тому важливо добре засвоїти базові формули площі прямокутника й квадрата, інші поняття з геометрії. Допомогти розібратися з певними темами, підготуватися до важливої контрольної або до НМТ може репетитор із математики.
Учитель дізнається про ваші цілі та теми, з якими вам було складно самостійно розібратися. З урахуванням цієї інформації розробить індивідуальний план занять. Під час уроків викладач буде пояснювати не тільки з допомогою підручника, а й із допомогою сучасних технологій, наприклад, математичних цікавинок з TikTok. Такий підхід до вивчення шкільних дисциплін дасть змогу учневі краще зрозуміти матеріал.
Знайти репетитора з математики чи іншого предмета можна на сайті BUKI.
