Квадратные уравнения: формулы, способы решения и примеры

Обновлено 08.10.2026

Автор: Наталія Клімик

Статьи автора: 249

Квадратные уравнения: формулы, способы решения и примеры

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — действительные числа, а a ≠ 0. Чтобы решить квадратное уравнение, чаще всего находят дискриминант D = b² - 4ac, а затем определяют корни. Если D > 0, уравнение имеет два действительных корня; если D = 0 — один действительный корень; если D < 0 — действительных корней нет.

Главные формулы квадратного уравнения

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

D = b² - 4ac

x₁ = (-b + √D) / (2a)

x₂ = (-b - √D) / (2a)

Если D = 0, обе формулы дают один и тот же корень: x = -b / (2a). Эти формулы удобно использовать как краткую памятку при решении задач.

Найдите репетитора по желаемым предметам

Найти репетитора

Что такое квадратное уравнение?

Тему квадратных уравнений изучают на уроках алгебры в 8 классе. Она является основой для многих следующих тем: квадратные уравнения встречаются при решении уравнений, неравенств и прикладных задач.

В уравнении ax² + bx + c = 0 число a называют старшим коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом. Значение x, при котором левая часть равна нулю, называют корнем уравнения.

Например, в уравнении 7x² + 4x + 1 = 0 имеем a = 7, b = 4, c = 1. В уравнении x - 6x² = 0 сначала удобно записать члены в стандартном порядке: -6x² + x = 0, поэтому a = -6, b = 1, c = 0.

Задачи, которые в современных обозначениях сводятся к квадратным уравнениям, решали еще в Древнем Вавилоне. Важный вклад в развитие методов решения внесли Брахмагупта и аль-Хорезми. Позднее развитие алгебраической символики и работы с отрицательными числами сделало запись этих методов ближе к современной.

Виды квадратных уравнений

Квадратные уравнения делят на полные и неполные, а также на приведенные и неприведенные. Вид зависит от значений коэффициентов a, b и c.

Вид уравнения	Признак	Пример
Полное	a, b, c не равны нулю	2x² - 5x + 3 = 0
Неполное	b = 0 и/или c = 0	x² - 9 = 0; 3x² + 6x = 0
Приведенное	a = 1	x² - 5x + 6 = 0
Неприведенное	a ≠ 1	4x² + 5x + 1 = 0

Неполные уравнения нередко можно решить без дискриминанта. Например, x² - 9 = 0 дает x² = 9, поэтому x = 3 или x = -3. Для 3x² + 6x = 0 можно вынести 3x за скобки: 3x(x + 2) = 0, отсюда x = 0 или x = -2.

Как решать квадратные уравнения?

Существует много способов решения квадратных уравнений. В школьном курсе чаще всего используют четыре: дискриминант, теорему Виета, разложение на множители и выделение полного квадрата.

1. Решение через дискриминант

Это универсальный способ для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. Последовательность действий такая:

1. Запишите уравнение в виде ax² + bx + c = 0.

2. Определите коэффициенты a, b, c.

3. Вычислите дискриминант: D = b² - 4ac.

4. Определите количество действительных корней по знаку D.

5. Найдите корни по формулам x₁ = (-b + √D) / (2a) и x₂ = (-b - √D) / (2a).

Если D > 0, получаем два разных действительных корня. Если D = 0 — один действительный корень x = -b / (2a). Если D < 0 — действительных корней нет.

2. Теорема Виета

Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Для ax² + bx + c = 0, если есть корни x₁ и x₂:

x₁ + x₂ = -b / a, x₁ · x₂ = c / a

Для приведенного уравнения x² + px + q = 0 формулы имеют более простой вид:

x₁ + x₂ = -p, x₁ · x₂ = q

Поэтому в простых приведенных уравнениях корни часто удобно подбирать устно.

3. Разложение на множители

Если квадратный трехчлен можно представить как произведение, уравнение приводят к виду A(x) · B(x) = 0. Для этого используют вынесение общего множителя, формулы сокращенного умножения или группировку. Затем каждый множитель приравнивают к нулю.

4. Выделение полного квадрата

Этот способ основан на формулах сокращенного умножения:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Уравнение преобразуют так, чтобы в левой части появился квадрат двучлена. Если старший коэффициент не равен 1, сначала уравнение можно разделить на a, а затем выделять полный квадрат.

Если тема квадратных уравнений пока дается сложно, полезно разобрать несколько задач разными способами. Репетитор по математике поможет увидеть, какой метод в конкретном примере будет короче и где чаще всего возникают ошибки.

Квадратные уравнения: примеры решения

Пример 1. Через дискриминант

Решим уравнение 2x² - 5x + 3 = 0.

a = 2, b = -5, c = 3

D = b² - 4ac = (-5)² - 4 · 2 · 3 = 25 - 24 = 1

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (5 + 1) / 4 = 6 / 4 = 1,5

x₂ = (5 - 1) / 4 = 4 / 4 = 1

Ответ: 1 и 1,5.

Пример 2. По теореме Виета

Решим уравнение x² - 5x + 6 = 0. Это приведенное уравнение. Нужно найти два числа, сумма которых равна 5, а произведение — 6. Это 2 и 3, потому что 2 + 3 = 5, а 2 · 3 = 6. Следовательно, x₁ = 2, x₂ = 3.