Квадратні рівняння: формули, способи розв’язання і приклади

Що таке квадратне рівняння?

Тема квадратних рівнянь вивчається на уроках алгебри у 8 класі. Вона є основою для багатьох наступних тем: квадратні рівняння з’являються під час розв’язування рівнянь, нерівностей і прикладних задач.

У рівнянні ax² + bx + c = 0 число a називають старшим коефіцієнтом, b — другим коефіцієнтом, c — вільним членом. Значення x, за якого ліва частина дорівнює нулю, називають коренем рівняння.

Наприклад, у рівнянні 7x² + 4x + 1 = 0 маємо a = 7, b = 4, c = 1. У рівнянні x - 6x² = 0 спочатку зручно записати члени у стандартному порядку: -6x² + x = 0, тому a = -6, b = 1, c = 0.

Задачі, які в сучасних позначеннях зводяться до квадратних рівнянь, розв’язували ще у Стародавньому Вавилоні. Важливий внесок у розвиток методів розв’язування зробили Брахмагупта та аль-Хорезмі. Пізніше розвиток алгебраїчної символіки й роботи з від’ємними числами зробив запис таких методів ближчим до сучасного.

Види квадратних рівнянь

Квадратні рівняння поділяють на повні й неповні, а також на зведені й незведені. Ознака виду залежить від значень коефіцієнтів a, b і c.

Вид рівняння	Ознака	Приклад
Повне	a, b, c не дорівнюють нулю	2x² - 5x + 3 = 0
Неповне	b = 0 та/або c = 0	x² - 9 = 0; 3x² + 6x = 0
Зведене	a = 1	x² - 5x + 6 = 0
Незведене	a ≠ 1	4x² + 5x + 1 = 0

Неповні рівняння часто можна розв’язати без дискримінанта. Наприклад, x² - 9 = 0 дає x² = 9, тому x = 3 або x = -3. Для 3x² + 6x = 0 можна винести 3x за дужки: 3x(x + 2) = 0, звідси x = 0 або x = -2.

Як розв’язувати квадратні рівняння?

Існує багато способів розв’язування квадратних рівнянь. У шкільному курсі найчастіше використовують чотири: дискримінант, теорему Вієта, розкладання на множники та виділення повного квадрата.

1. Розв’язання через дискримінант

Це універсальний спосіб для квадратного рівняння ax² + bx + c = 0. Послідовність дій така:

1. Запишіть рівняння у вигляді ax² + bx + c = 0.

2. Визначте коефіцієнти a, b, c.

3. Обчисліть дискримінант: D = b² - 4ac.

4. Визначте кількість дійсних коренів за знаком D.

5. Знайдіть корені за формулами x₁ = (-b + √D) / (2a) і x₂ = (-b - √D) / (2a).

Якщо D > 0, маємо два різні дійсні корені. Якщо D = 0 — один дійсний корінь x = -b / (2a). Якщо D < 0 — дійсних коренів немає.

2. Теорема Вієта

Теорема Вієта пов’язує корені квадратного рівняння з його коефіцієнтами. Для ax² + bx + c = 0, якщо є корені x₁ і x₂:

x₁ + x₂ = -b / a, x₁ · x₂ = c / a

Для зведеного рівняння x² + px + q = 0 формули мають простіший вигляд:

x₁ + x₂ = -p, x₁ · x₂ = q

Саме тому в простих зведених рівняннях корені часто зручно добирати усно.

3. Розкладання на множники

Якщо квадратний тричлен можна подати як добуток, рівняння зводять до вигляду A(x) · B(x) = 0. Для цього використовують винесення спільного множника, формули скороченого множення або групування. Далі прирівнюють кожний множник до нуля.

4. Виділення повного квадрата

Цей спосіб ґрунтується на формулах скороченого множення:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Рівняння перетворюють так, щоб у лівій частині з’явився квадрат двочлена. Якщо старший коефіцієнт не дорівнює 1, спочатку рівняння можна поділити на a, а потім виділяти повний квадрат.

Якщо тема квадратних рівнянь поки дається складно, корисно розібрати кілька задач різними способами. Репетитор з математики може допомогти побачити, який метод у конкретному прикладі буде найкоротшим і де найчастіше виникають помилки.

Квадратні рівняння: приклади розв’язування

Приклад 1. Через дискримінант

Розв’яжемо рівняння 2x² - 5x + 3 = 0.

a = 2, b = -5, c = 3

D = b² - 4ac = (-5)² - 4 · 2 · 3 = 25 - 24 = 1

Оскільки D > 0, рівняння має два корені.

x₁ = (5 + 1) / 4 = 6 / 4 = 1,5

x₂ = (5 - 1) / 4 = 4 / 4 = 1

Відповідь: 1 і 1,5.

Приклад 2. За теоремою Вієта

Розв’яжемо рівняння x² - 5x + 6 = 0. Це зведене рівняння. Потрібно знайти два числа, сума яких дорівнює 5, а добуток — 6. Це 2 і 3, оскільки 2 + 3 = 5, а 2 · 3 = 6. Отже, x₁ = 2, x₂ = 3.

Приклад 3. Розкладання на множники

Розв’яжемо 4x² + 5x + 1 = 0. Середній член 5x можна подати як 4x + x:

4x² + 4x + x + 1 = 0

4x(x + 1) + 1(x + 1) = 0

(4x + 1)(x + 1) = 0

Звідси 4x + 1 = 0 або x + 1 = 0. Отже, x₁ = -1/4, x₂ = -1.

Приклад 4. Виділення повного квадрата

Розв’яжемо x² + 6x - 7 = 0. Перенесемо вільний член і виділимо квадрат двочлена:

x² + 6x = 7

x² + 6x + 9 = 16

(x + 3)² = 16

Тоді x + 3 = 4 або x + 3 = -4. Отже, x = 1 або x = -7.

Відповідь: 1; -7.

Читайте також

• Репетитори з математики
• Площа прямокутника: формула, приклади і задачі
• Геометрична прогресія: формули та приклади

Використані джерела

ІМЗО — Алгебра, 8 клас (Мерзляк А. Г. та ін.)

MacTutor History of Mathematics — Quadratic, cubic and quartic equations