
Ученикам может показаться, что изучение геометрической прогрессии – это нечто абстрактное и оторванное от жизни. На самом деле множество экономических процессов построены именно на основе геометрической прогрессии.
Например, если вы положите деньги на банковский депозит и захотите посчитать сколько процентов заработаете за три года, самым удобным способом провести вычисления будет именно через формулу геометрической прогрессии. Этот инструмент также применяется в проектировании, архитектуре и строительстве.
В этом тексте вы сможете узнать базовую информацию о формулах и свойства геометрической прогрессии, а также понять принцип, по которому она действует.
Что такое геометрическая прогрессия?
3, 12, 48, 192, 768, 3072 – это пример геометрической прогрессии. Все эти объединенные единым общим множителем. В теории геометрической прогрессии он называется знаменателем и обозначается как q. В этом случае q = 4. Чтобы создать геометрическую прогрессию, нам нужно сначала три умножить на четыре, затем 12 – снова на 4, потом 48 на 4 и так далее.
Читайте также: Плюсы и минусы образования за рубежом
Определение геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия – это прежде всего последовательность чисел. Каждый пункт этой последовательности, начиная со второго, равен предыдущему числу, умноженному на одинаковый множитель.
Устойчивое число множитель, которое собственно и образует последовательность под названием геометрическая прогрессия, называется знаменателем прогрессии и обозначается, как мы уже отметили выше, буквой q.
Члены прогрессии обозначаются как , где под индикатором n имеется в виду порядковый номер члена в прогрессии. Соответственно, первый член прогрессии (в нашем первом примере равен 3 – это b1, а второй (12) – это b2.
Предполагается, что ни первый член, ни знаменатель прогрессии не равен нулю.
Свойства геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия становится удобным инструментом вычислений, когда вы понимаете, что с помощью ее свойств и связанных с ней формул можно легко вычислить, чему равно
И действительно – если попробуем вручную умножать каждое число ряда на 4, в конце концов восьмым числом этой геометрической прогрессии станет 49152.
После усвоения главного принципа, лежащего в основе геометрической прогрессии, можем закрепить знания, проверив на практике первый пример с банковским депозитом.
Допустим, вы кладете на свой счет $ 100 под 6% годовых, и хотите узнать, какую сумму получите за 3 года. В таком случае вы будете использовать в своих расчетах геометрическую прогрессию, ведь ежегодно вы будете умножать все большую сумму на один и тот же множитель (в данном примере он равен 6%, то есть – 1,06)
Чтобы вычислить сумму вклада в момент завершения действия депозита, используем уже знакомую формулу для нахождения значения любого члена прогрессии:
В чем разница между геометрической и арифметической прогрессией?
В геометрической прогрессии члены прогрессии умножаются на постоянное число, тогда как арифметическая прогрессия воплощает последовательность чисел, в которой к каждому предыдущему члена добавляется одно и то же постоянное число.
Представим это на примерах.
Предположим, что знаменатель (q) в случае геометрической прогрессии составит 3 и так же в арифметической прогрессии устойчивое слагаемое будет равно 3. И стартовый член прогрессии в обоих случаях также составит одно и то же число – 4.
Арифметическая прогрессия тогда будет выглядеть как последовательность 4, 7 (= 4 + 3), 10 (= 7 + 3) .., 13 .., 16 .., 19 ...
А геометрическая прогрессия – как последовательность 4, 12 (= 4 * 3), 36 (= 12 * 3), 108 .., 324 …
Читайте также: Учимся играя. Что такое геймификация
Формулы и свойства геометрической прогрессии
Свойства членов геометрической прогрессии – это формулы, упрощающие расчеты. Вот некоторые из них:
Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, следует использовать следующую формулу:
Произведение членов, равноудаленных от краев геометрической прогрессии, то есть, соседних, всегда является постоянной величиной, то есть:
С формулой расчета любого члена геометрической прогрессии мы уже знакомы. Она выглядит так:
А формула нахождения суммы п первых членов геометрической прогрессии выглядит так:
Любой член геометрической прогрессии, начиная со второго, будет равняться среднему арифметическому соседних с ним членов, то есть при ,
Калькуляторы геометрической прогрессии
В сети есть множество калькуляторов как арифметической, так и геометрической прогрессии. Некоторые из них могут не только посчитать сумму прогрессии или найти знаменатель, но и отразить пошаговое решение того или иного примера. Пользуясь ими вы не только найдете ответ, но и сможете понять принцип действий и запомнить некоторые из формул.
Однако если вы переживаете сложности с пониманием геометрической прогрессии, эффективным решением может быть работа с репетитором по алгебре. На сайте БУКИ вы можете найти репетитора по любому предмету.
Что касается онлайн-калькуляторов прогрессии, то в Keisan Online Calculator вы можете вычислить или сумму геометрической прогрессии, а также значение любого ее члена с пошаговым решением вашего примера. А в Geometric Sequence Calculator вы сможете вычислить любой составляющая прогрессии: и знаменатель геометрической прогрессии (q), и сумму бесконечный прогрессии (Sn), и сумму первых членов (Sn).
Примеры решения заданий с геометрической прогрессией
-
Вычислим знаменатель геометрической прогрессии, если b1=5,5; b2=11.
Решение:
Вычислим знаменатель прогрессии, поделив друг на друга соседние члены:
q = b2/b1 = 11/5,5 = 2.
Ответ:
Знаменатель прогрессии (q) равен 2.
-
Вычислим знаменатель геометрической прогрессии, если b1=0,3; b2= -30.
Решение:
Вычислим знаментель прогрессии, поделив друг на друга соседние члены:
q = b2/b1= -30/0,3= -100.
Ответ:
Знаменатель прогрессии (q) равен -100.