Геометрическая прогрессия - это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Формула n-го члена: b_n = b_1 * q^(n-1). Для суммы первых n членов используют формулу S_n = b_1 * (q^n - 1) / (q - 1), если q ≠ 1.
Ученикам может показаться, что изучение геометрической прогрессии - это нечто абстрактное и оторванное от жизни. На самом деле последовательности такого типа возникают в задачах, где значение каждый раз изменяется в одно и то же число раз. Например, при ежегодной капитализации процентов сумма на депозите каждый год умножается на один и тот же коэффициент.
В этом материале разберем определение геометрической прогрессии, ее основные формулы и свойства, отличие от арифметической прогрессии и несколько типичных примеров.
Что такое геометрическая прогрессия?
3, 12, 48, 192, 768, 3072 - это пример геометрической прогрессии. Все ее члены связаны одним и тем же множителем. В теории геометрической прогрессии этот постоянный множитель называют знаменателем и обозначают буквой q. В данном случае q = 4: чтобы получить следующий член, нужно каждый раз умножать предыдущий на 4.
Определение геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия - это последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему числу, умноженному на одно и то же ненулевое число q.
Члены прогрессии обозначают b_1, b_2, b_3, ..., b_n, где n - порядковый номер члена. Знаменатель прогрессии обозначают q. Основную зависимость можно записать так:
b_(n+1) = b_n * q
Отсюда знаменатель можно найти как отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему:
q = b_n / b_(n-1)
Если q > 0, члены прогрессии сохраняют знак. Если q < 0, знаки чередуются. Например, 2, -6, 18, -54, ... - геометрическая прогрессия со знаменателем q = -3.
В чем разница между геометрической и арифметической прогрессией?
В геометрической прогрессии каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число q. В арифметической прогрессии к предыдущему члену каждый раз прибавляют одно и то же число d.
Например, если первый член равен 4, а постоянная величина - 3, получим:
| Вид прогрессии | Правило | Последовательность |
| Арифметическая | прибавляем 3 | 4, 7, 10, 13, 16, 19, ... |
| Геометрическая | умножаем на 3 | 4, 12, 36, 108, 324, ... |
Формулы и свойства геометрической прогрессии
| Что найти | Формула | Пояснение |
| Знаменатель | q = b_n / b_(n-1) | отношение следующего члена к предыдущему |
| n-й член | b_n = b_1 * q^(n-1) | позволяет найти любой член прогрессии |
| Сумма первых n членов | S_n = b_1 * (q^n - 1) / (q - 1) | используется, если q ≠ 1 |
| Свойство соседних членов | b_n^2 = b_(n-1) * b_(n+1) | квадрат внутреннего члена равен произведению соседних |
В формулах b_1 - первый член прогрессии, b_n - n-й член, q - знаменатель, n - номер члена, S_n - сумма первых n членов.
Формула n-го члена
Формула b_n = b_1 * q^(n-1) позволяет сразу найти нужный член без последовательного вычисления всех предыдущих. Например, для прогрессии 3, 12, 48, ... со знаменателем q = 4 восьмой член равен:
b_8 = 3 * 4^7 = 49152
Это тот же результат, который получили бы, семь раз последовательно умножая первый член на 4.
Сумма первых n членов
Если q ≠ 1, сумму первых n членов геометрической прогрессии вычисляют по формуле:
S_n = b_1 * (q^n - 1) / (q - 1)
Если q = 1, все члены прогрессии одинаковы, поэтому S_n = n * b_1.
Свойство соседних членов
Квадрат каждого внутреннего члена геометрической прогрессии равен произведению двух соседних членов:
b_n^2 = b_(n-1) * b_(n+1)
Например, в прогрессии 3, 6, 12, 24, ... для числа 12 имеем 12^2 = 6 * 24 = 144.
Для конечной геометрической прогрессии также равны произведения членов, равноудаленных от ее концов:
b_1 * b_n = b_2 * b_(n-1) = b_3 * b_(n-2) = ...
Примеры решения задач с геометрической прогрессией
1. Как найти знаменатель геометрической прогрессии
Вычислим знаменатель геометрической прогрессии, если b_1 = 5,5, b_2 = 11. Этот пример сохранен из действующей версии статьи.
q = b_2 / b_1 = 11 / 5,5 = 2
Ответ: q = 2.
2. Как найти n-й член геометрической прогрессии
Найдем 5-й член геометрической прогрессии, если b_1 = 3, q = 2.
b_5 = b_1 * q^(5-1) = 3 * 2^4 = 3 * 16 = 48
Ответ: 48.
3. Как найти сумму первых n членов
Найдем сумму первых четырех членов геометрической прогрессии, если b_1 = 2, q = 3.
S_4 = 2 * (3^4 - 1) / (3 - 1) = 2 * 80 / 2 = 80
Проверка: первые четыре члена - 2, 6, 18, 54, а 2 + 6 + 18 + 54 = 80. Ответ: 80.
Калькуляторы геометрической прогрессии
В интернете есть онлайн-калькуляторы для арифметических и геометрических прогрессий. Они могут найти знаменатель, n-й член или сумму первых n членов и часто показывают промежуточные вычисления. Такой инструмент удобно использовать для проверки ответа, но во время учебы важно понимать, какую формулу нужно применять.
Если сложно разобраться с принципом прогрессий или применять формулы в задачах, тему можно дополнительно проработать с преподавателем математики.
Читайте также
- Квадратные уравнения: виды, свойства и способы решения
- Свойства и формулы логарифмов
- Репетиторы по математике
Использованные источники
Понравилась статья? Оцените
3.84
На основе отзывов 19 пользователей
Автор Олена Бойчук
У 2019 році закінчила магістратуру філологічного факультету Донецького Національного Університету імені Василя Стуса. Співпрацювала з міжнародними компаніями, пишу інформаційні статті
