Теория вероятности – объемный и достаточно сложный раздел математики. Во время работы нам часто приходится сталкиваться с необходимостью определять эффективность и прогнозировать результаты, скажем для построения маркетинговых стратегий и других заданий. В статье изложена суть и основные формулы вероятности, которые помогут сориентироваться в этой математической отрасли и применять ее на практике.
Что такое теория вероятностей?
Итогом проведенных исследований относительно влияния случайности и неопределенности на социальные, поведенческие и физические явления стал раздел математики, посвященный теории вероятностей. В количественном эквиваленте вероятность определяется числом от 0 до 1, где 0 означает окончательную невозможность события, а 1 – стопроцентную достоверность того, что событие произойдет. Чем больше это число будет приближаться к 1, тем большая вероятность наступления определенных событий. Вероятность также измеряется шкалой от 0 до 100%.
Простым примером вероятности является жеребьевка: выпадения орла или решки одинаковые по степени вероятности, поскольку других исходов такого подбрасывания монеты не предусмотрено. На практике теория вероятностей используется для моделирования ситуаций, когда в одинаковых условиях вследствие одних и тех самых действий имеем разные результаты.
Результат подбрасывания монеты является случайным. Случайные события нельзя полностью спрогнозировать, однако все они имеют длительные закономерности, которые мы можем описать и количественно оценить с помощью вероятности.
Рассмотрим три основные теории.
Одинаково вероятные результаты
Нет никаких причин утверждать, что вероятность одного результата события имеет преимущество перед другими результатами. Представьте сосуд с одинаковыми шариками, которые тщательно перемешали. Игроку предлагают достать один из шариков, при этом вероятность выбора каждого из шариков будет одинаковой. Если заданная ситуация имеет количество результатов, равное n, то вероятность каждого результата составляет 100%.
Теория частоты
Согласно с этой теорией, вероятность – это предел относительной частоты, с которой событие происходит в повторяющихся условиях. Утверждение «вероятность того, что А произойдет, равна р%» в этом случае означает следующее: если вы повторяете эксперимент снова и снова, независимо и в приблизительно одинаковых условиях, процент времени, когда А произойдет, приближается к р. Относительная частота рассчитывается исключительно после проведения опытов на основании фактически полученных данных.
Если ряд экспериментов проводится в неизменных условиях, то относительная частота обретает устойчивость, то есть варьируется в пределах незначительных отличий. Так, профессиональный лучник сделал 100 выстрелов и из них попал в мишень 90 раз. Его вероятность попадания в цель при определенных условиях составляет 0,9. Если за свою карьеру он сделал 10511 выстрелов, из которых попал в цель 9846 раз, относительная частота равна 9846/10511=0,9367. Этот показатель и будет учитываться для прогнозирования результата лучника в будущих соревнованиях.
Субъективная теория
Такой тип вероятности применяется в процессе принятия решений с целью в дальнейшем прогнозировать поведение человека. Он не имеет статистической характеристики. В таком случае вероятностью является ступень проверки определенного утверждения. Например, целесообразность инвестирования средств в разные рисковые проекты, участие в лотерее, планирование запасов лекарств в медицинских заведениях и т.д. Субъективная вероятность определяется с помощью соответствующих местных экспертиз.
Как рассчитать вероятность?
Если вам нужно применить теорию вероятностей на практике, можете воспользоваться следующим алгоритмом расчетов:
- Определите одно событие с одним результатом. Сначала необходимо определиться с вероятностью, которую вы хотите рассчитать. Например, вам нужно узнать вероятность того, что в бросании кубика выпадет двойка.
- Узнайте общее количество сценариев, которые могут наступить. Во время первого шага вы определили событие. Если обратиться к примеру с бросанием игрального кубика, то общее количество сценариев равно шести, поскольку на кубике шесть чисел. Таким образом, выпадение двойки может иметь шесть разных сценариев.
- Поделите количество событий на количество возможных сценариев. Выпадение двойки во время первого бросания кубика – это одно событие. Выходит, что вероятность выпадения двойки составляет 1/6, а вероятность того, что двойка не выпадет, равна 5/6. В результате получаем 1/5 или 20% – шанс выпадения двойки во время первого броска.
А как рассчитать вероятность с несколькими случайными событиями? Ваши шаги следующие:
- Определите каждое из событий, с которыми вы будете работать. Скажем, вам нужно найти вероятность выпадения четверки на каждом из двух разных кубиков.
- Рассчитайте вероятность для каждого события отдельно. Она составит 1/6. Это позволит определить также вероятность одновременного выпадения четверки на двух кубиках.
- Перемножьте все вероятности. В нашем примере с кубиком 1/6×1/6 = 1/36 – шансы, что четверка выпадет на двух кубиках одновременно.
Рассмотрим это наглядно с помощью схемы:
Если вам сложно разобраться с теорией вероятности самостоятельно, всегда можно обратиться к репетитору. Профессиональный педагог покажет, как эта теория работает для решения реальных жизненных и профессиональных заданий. Вы сможете не только открыть для себя этот полезный раздел математики, но и применить его в работе и практических ситуациях. Найти преподавателя поможет сервис BUKI, где быстро и результативно можно подобрать педагога под ваши потребности.
Формула вероятности: примеры
Классическая иллюстрация вероятности выглядит так:
при условии, что .
Пример 1
Эту формулу применяем в теореме сложения вероятностей. Например: в ящике находится 50 карточек, из них 15 имеют рисунки, а 8 – написанные на них слова. Остальные 27 без каких-либо изображений. После перемешивания с ящика вслепую достают карточку. Какая вероятность того, что вынутая карточка будет иметь изображение?
Р(С) = Р(А) + Р(В) = 15/50 + 8/50 = 23/50, или 0,46.
Пример 2 – задачи на противоположные события. Есть два игральных кубика, которые бросают один раз. Нужно рассчитать вероятность того, что хотя бы один раз выпадет цифра 6.
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ), где А – это возможность такого выпадения на первом кубике, В – возможность выпадения на втором кубике.
1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36.
Пример 3
В магазине реализуется продукция трех фирм, и доля каждой составляет: 1-й фирмы – 50%, 2-й фирмы – 30%, 3-й фирмы – 20%. Для продукции каждой из фирм брак составляет: для 1-й фирмы – 2%, для 2-й фирмы – 3%, 3-й фирмы – 5%. Какая вероятность того, что наугад приобретенная в магазине единица продукции имеет хорошее качество?
События-гипотезы H1, H2, H3 – несовместимые и формируют полную группу, а их вероятности равны: P(H1) = 0,5; Р(Н2) = 0,3; Р(Н3) = 0,2.
Соответствующие условные вероятности события А составляют:
P(A|H1) = 1− 0,02= 0,98;
P(A|H2) = 1 – 03 = 0,97;
P(A|H3) = 1 – 0,05= 0,95.
Далее, исходя из формулы полной вероятности
имеем: P(A) = 5,0 ⋅ 98,0 + 3,0 ⋅ 97,0 + 2,0 ⋅ 95,0 = 0, 971.
