Геометрична прогресія - це числова послідовність, у якій кожен наступний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме число q. Це число називають знаменником геометричної прогресії. Формула n-го члена: b_n = b_1 * q^(n-1). Якщо потрібно знайти суму перших n членів, використовують формулу S_n = b_1 * (q^n - 1) / (q - 1), якщо q ≠ 1.
Учням може здаватися, що вивчення геометричної прогресії - це щось абстрактне та відірване від життя. Насправді послідовності такого типу виникають у задачах, де значення щоразу змінюється в однакову кількість разів. Наприклад, за умови щорічної капіталізації відсотків сума на депозиті кожного року множиться на один і той самий коефіцієнт.
У цьому матеріалі розберемо визначення геометричної прогресії, її основні формули й властивості, різницю з арифметичною прогресією та кілька типових прикладів.
Що таке геометрична прогресія?
3, 12, 48, 192, 768, 3072 - це приклад геометричної прогресії. Усі її члени пов’язані одним і тим самим множником. У теорії геометричної прогресії цей сталий множник називають знаменником і позначають літерою q. У цьому випадку q = 4: щоб отримати наступний член, потрібно щоразу множити попередній на 4.
Визначення геометричної прогресії
Геометрична прогресія - це послідовність відмінних від нуля чисел, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому числу, помноженому на одне й те саме ненульове число q.
Члени прогресії позначають b_1, b_2, b_3, ..., b_n, де n - порядковий номер члена. Знаменник прогресії позначають q. Основну залежність можна записати так:
b_(n+1) = b_n * q
Звідси знаменник можна знайти як відношення будь-якого члена, починаючи з другого, до попереднього:
q = b_n / b_(n-1)
Якщо q > 0, члени прогресії зберігають знак. Якщо q < 0, знаки чергуються. Наприклад, 2, -6, 18, -54, ... - геометрична прогресія зі знаменником q = -3.
У чому різниця між геометричною та арифметичною прогресією?
У геометричній прогресії кожен наступний член отримують множенням попереднього на одне й те саме число q. В арифметичній прогресії до попереднього члена щоразу додають одне й те саме число d.
Наприклад, якщо перший член дорівнює 4, а стала величина - 3, отримаємо:
| Вид прогресії | Правило | Послідовність |
| Арифметична | додаємо 3 | 4, 7, 10, 13, 16, 19, ... |
| Геометрична | множимо на 3 | 4, 12, 36, 108, 324, ... |
Формули та властивості геометричної прогресії
| Що знайти | Формула | Пояснення |
| Знаменник | q = b_n / b_(n-1) | відношення наступного члена до попереднього |
| n-й член | b_n = b_1 * q^(n-1) | дає змогу знайти будь-який член прогресії |
| Сума перших n членів | S_n = b_1 * (q^n - 1) / (q - 1) | використовується, якщо q ≠ 1 |
| Властивість сусідніх членів | b_n^2 = b_(n-1) * b_(n+1) | квадрат внутрішнього члена дорівнює добутку сусідніх |
У формулах b_1 - перший член прогресії, b_n - n-й член, q - знаменник, n - номер члена, S_n - сума перших n членів.
Формула n-го члена
Формула b_n = b_1 * q^(n-1) дає змогу одразу знайти потрібний член без послідовного обчислення всіх попередніх. Наприклад, для прогресії 3, 12, 48, ... зі знаменником q = 4 восьмий член дорівнює:
b_8 = 3 * 4^7 = 49152
Це той самий результат, який отримали б, сім разів послідовно множачи перший член на 4.
Сума перших n членів
Якщо q ≠ 1, суму перших n членів геометричної прогресії обчислюють за формулою:
S_n = b_1 * (q^n - 1) / (q - 1)
Якщо q = 1, усі члени прогресії однакові, тому S_n = n * b_1.
Властивість сусідніх членів
Квадрат кожного внутрішнього члена геометричної прогресії дорівнює добутку двох сусідніх членів:
b_n^2 = b_(n-1) * b_(n+1)
Наприклад, у прогресії 3, 6, 12, 24, ... для числа 12 маємо 12^2 = 6 * 24 = 144.
Для скінченної геометричної прогресії також рівні добутки членів, рівновіддалених від її країв:
b_1 * b_n = b_2 * b_(n-1) = b_3 * b_(n-2) = ...
Приклади розв’язання задач із геометричною прогресією
1. Як знайти знаменник геометричної прогресії
Обчислимо знаменник геометричної прогресії, якщо b_1 = 5,5, b_2 = 11. Цей приклад збережено з чинної версії статті.
q = b_2 / b_1 = 11 / 5,5 = 2
Відповідь: q = 2.
2. Як знайти n-й член геометричної прогресії
Знайдемо 5-й член геометричної прогресії, якщо b_1 = 3, q = 2.
b_5 = b_1 * q^(5-1) = 3 * 2^4 = 3 * 16 = 48
Відповідь: 48.
3. Як знайти суму перших n членів
Знайдемо суму перших чотирьох членів геометричної прогресії, якщо b_1 = 2, q = 3.
S_4 = 2 * (3^4 - 1) / (3 - 1) = 2 * 80 / 2 = 80
Перевірка: перші чотири члени - 2, 6, 18, 54, а 2 + 6 + 18 + 54 = 80. Відповідь: 80.
Калькулятори геометричної прогресії
У мережі є онлайн-калькулятори для арифметичних і геометричних прогресій. Вони можуть знайти знаменник, n-й член або суму перших n членів і часто показують проміжні обчислення. Такий інструмент зручно використовувати для перевірки відповіді, але під час навчання важливо розуміти, яку формулу потрібно застосувати.
Якщо складно розібратися з принципом прогресій або застосувати формули в задачах, тему можна додатково опрацювати з викладачем математики.
Читайте також
- Квадратні рівняння: види, властивості та способи розв’язання
- Властивості й формули логарифмів
- Репетитори з математики
Використані джерела
Сподобалась стаття? Оцініть
3.84
На основі відгуків 19 користувачів
Автор Олена Бойчук
У 2019 році закінчила магістратуру філологічного факультету Донецького Національного Університету імені Василя Стуса. Співпрацювала з міжнародними компаніями, пишу інформаційні статті
