Тема квадратных уравнений изучается на уроках алгебры в 8 классе. Эта тема может оказаться довольно сложной не только для тех учеников, у которых есть пробелы в знании математики. Но она является фундаментом для многих других тем по алгебре. В частности, этот тип уравнений используется в решении тригонометрических, логарифмических, показательных уравнений и неравенств.
Дальше вы найдете ответы на много вопросов по теме и научитесь решать уравнения с помощью разных методов.
Что такое квадратные уравнения?
Общая формула квадратного уравнения выглядит как ax2+ bx +c = 0, где a, b и с – действенные числа; х – сменная; х1 и х2 – корни уравнения. Важное условие при этом а ≠ 0.
Если точнее:
- а – это первый, или старший, коэффициент
- b – второй коэффициент
- с – свободный член
Цель решения – найти все корни уравнения либо показать, что таких корней нет. Под корнем имеется в виду значение сменной х, при котором окончательный результат квадратного трёхчлена будет равен нулю.
Квадратные уравнения, кстати, известны еще с 2000 года до н.э. В древнем Вавилоне это был способ измерения земельных участков, проведения расчётов для строительства и астрономических исследований.
Современные методы и алгоритмы решения данных уравнений с помощью нахождения корней предложили персидский математик Мухаммед аль-Хорезми и индийский ученый Брахмагупта. А обобщил эти методы в одном правиле немецкий исследователь Михаель Штифель в 1544 году.
Рассмотрим, что такое квадратное уравнение на примере 7x2+ 4x +1 = 0. Это уравнение имеет следующие коэффициенты: а = 7, b = 4, c = 1.
А вот в уравнениях:
6х2 – х + 4 = 0; а = 6, b = -1, c = 4;
х – 6х2 = 0; a = -6, b = 1, c = 0.
Если у ребенка есть трудности с этой темой или другими разделами математики, не теряйте время. Лучше найти для него хорошего репетитора. На платформе BUKI вы всегда можете выбрать квалифицированного специалиста по нужным вам критериям.
Виды квадратных уравнений
Существует 2 типа уравнений:
- полные и неполные
- сводные и несводные
Полные уравнения включают 3 действительных числа a, b и с, причем b и с отличаются от нуля. Коэффициент а обязательный. В неполных квадратных уравнениях хотя бы одно из чисел – b или с – равно нулю. Пример неполного уравнения: - х + х2 = 15. В этом уравнении отсутствует число с.
Сведенные уравнения – эти тип уравнений, в которых коэффициент а равен 1. Соответственно, в несведенном уравнении коэффициент а имеет значение большее, чем 1. Для данного вида квадратных уравнений примеры: x2 − 3x + 2 = 0 – сведенное и 6х2 – х + 4 = 0 – несведенное уравнения.
Как решать квадратные уравнения?
Вообще существует более 10 способов решения такого типа уравнений. Но мы рассмотрим 4 наиболее употребляемые.
- Первый способ – с использованием формулы дискриминанта, то есть специального выражения, необходимого для поиска корней квадратных уравнений.
Все формулы представлены на рисунке.
Первая формула из 3-го пункта применяется, если D > 0. Тогда уравнение имеет 2 разных корня. Вторую формулу используем, если D = 0. Тогда уравнение имеет один корень. И при условии D < 0 уравнение не имеет корней.
- Второй способ – использование теоремы Виета, которая была выведена еще в 1591 году. Метод используется для сведенных уравнений.
Если сведенное уравнение x2+px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть:
x1 + x2 = -p,
x1 x2 = q.
- Третий способ – решение квадратных уравнений через раскладывание на множители. Шаги в этом методе:
- Общий множитель выносим за скобки
- Применяем формулы сокращенного умножения
- Используем метод группирования
При этом способе мы трансформируем квадратное уравнение на уравнение А(х)·В(х)=0.
- Четвертый способ – выделение полного квадрата. В этом случае используются формулы:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 – 2ab + b2
Сначала необходимо преобразовать наше уравнение в сведенное. Потом перенести свободный член. Дальше прибавляем и вычитаем квадрат половины коэффициента при х. Левую часть записываем как квадрат двучлена и решаем полученное уравнение.
Квадратные уравнения: примеры
Пример 1. Решение через дискриминант с подробным описанием формулы корней квадратного уравнения.
Пример 2. Решение уравнения по теореме Виета.
x2 − 5x + 6 = 0.
b = -5, c = 6.
Теперь следует найти два числа, которые:
- в сумме дают 5
- в произведении дают 6
Такие числа – это 2 и 3, так как:
2 + 3 = 5, 2 ⋅ 3 = 6.
Таким образом, корни уравнения: x1 = 2 x2 = 3.
Пример 3. Как решить квадратное уравнение путем раскладывания на множители?
Нужно решить уравнение 4х2 + 5х + 1 = 0.
Метод группирования основывается на том, что средний член 5x можно разложить на два слагаемые так, чтобы:
- их сумма была равна 5х
- их произведение было равно произведению крайних коэффициентов: 4 ⋅ 1 = 4
Ищем такие числа: 4x и x, поскольку: 4х + х = 5х, 4х ⋅ х = 4х2.
Теперь наше уравнение выглядит так: 4x2 + 4x + x + 1 = 0.
Группируем члены попарно и выносим общие множители:
(4x2 + 4x) + (x + 1) = 0
4x (x+1) + 1 (x+1) = 0
(4x + 1) (x + 1) = 0
- 4x + 1 = 0, x = -1/4
- х + 1 = 0, x = -1
Пример 4. Решение уравнения х2 + 6х – 7 = 0 способом выделения полного квадрата.
(х +3)2 – 16 = 0
(х +3)2 = 16
х + 3 = 4; х + 3 = -4
х = 1, х = -7
Ответ: 1; -7.
Зная в квадратном уравнении формулу, вы можете решить далеко не каждое задание. А для глубокого понимания темы важно решать как можно больше уравнений, используя разные методы. Лучше делать это под руководством репетитора, который тут же будет исправлять ошибки и разъяснять непонятные моменты.
