Що спонукало мене написати цю статтю? А те, що відкриваю шкільний підручник (!) з алгебри за 8-й клас авторства декількох вчителів та одного Академіка (!), підручник виданий з грифом Міністерства освіти і науки, - і бачу жах: там посеред сторінки ВЕЛИКИМИ БУКВАМИ (!) У РАМОЧЦІ (!) написано, що це твердження є аксіомою, а не легенькою для осмислення теоремою.
Давайте розберемося. Але, враховуючи масову оману в цьому питанні, навіть рівня Академіків, я зроблю це з максимальним «розжовуванням».
У математиці заведено, що дія віднімання завжди перевіряється дією додавання. От (на прикладах) чому 10 – 2 = 8? Бо 8 + 2 = 10. А 10 – 5 = 5, бо 5 + 5 = 10. Всі ці рівності правильні.
Аналогічно дія ділення перевіряється дією множення. Чому 10 : 2 = 5? Бо перевіряємо: 5 х 2 = 10. А 10 : 1 = 10, бо частка 10, помножена на дільник 1, дає ділене 10. Це правильна рівність.
А тепер скажіть, який результат дії 10 : 0. Може, 0 (нуль)? Знову перевіряємо ділення множенням. Частка 0, помножена на дільник 0, дає в результаті 0. А нам треба, щоб вийшло 10. Тобто 10 : 0 – не нуль.
Може, 10 : 0 = 10? Перевіряємо. Який результат отримаємо, якщо частку 10 (пам’ятаємо, що у записі 10 : 0 = 10 перша десятка – це ділене, а друга десятка – це якраз частка. Не сплутайте!) помножити на дільник 0? 10 х 0 = … 0. А нам треба скільки? 10! Отже, 10 : 0 – не 10.
Може, 10 : 0 = 1? Чи 10 : 0 = 100? Чи 10 : 0 = 1000000? НІ! Бо в елементарній шкільній математиці яке б число ми не прагнули взяти результатом дії 10 : 0, те число, помножене на 0, дасть у результаті 0, а не потрібне нам 10.
Переходимо на більш загальний рівень. Що отримаємо, якщо m : 0? Повторимо ідею попереднього абзацу. Яке б число ми не прагнули написати результатом, перевірка числа-претендента множенням на 0 дасть у результаті 0, а не потрібне m.
Висновок: у шкільній математиці немає такого числа, яке було б результатом (часткою) дії m : 0 (якщо m не дорівнює 0). Іншими словами: ми довели, що у шкільній математиці неможливе ділення на нуль числа, яке відмінне від нуля.
До речі, а навіщо в останньому абзаці приписки «m не дорівнює 0» та «ділення числа, яке відмінне від нуля»?
Давайте розбиратися. Обчислити 0 : 0.
Може, автоматично скажете, що ділення на нуль неможливе? І несподівано потрапите в халепу. Гляньте. Я стверджую, що 0 : 0 = 1. Перевірте і переконайтеся. 1 х 0 = 0. Це правильна рівність.
Далі. Ой! 0 : 0 = 2! Перевіряємо. Дійсно, знову виходить правильна рівність 2 х 0 = 0.
Хм-м-м. То яке ж число поставити у виразі 0 : 0 = … після знаку дорівнює?
Подумайте і зробіть висновок, що туди підходить БУДЬ-ЯКЕ! Тобто – висновок: результатом дії 0 : 0 є будь-яке число. От саме тому, щоб цей випадок не псував «загальної стрункої картини», я і згадав застереження, наведені трішки вище.
А що то за декілька разів написані в тексті слова на кшталт «шкільна математика»? Вступите до ВНЗ – тоді вернемось до цього питання.
ã
2. Що лежить в основі шкільних ГЕОМЕТРИЧНИХ знань, умінь та навичок?
Який першопоштовх повинен бути при розв’язуванні шкільних ГЕОМЕТРИЧНИХ задач?
Відповідаю відразу на обидва запитання. В переважній частині випадків це - ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК та не так уже й багато супровідних понять, формул, співвідношень.
І ще – продовження геометричної та навкологеометричної тем. Отой для багатьох жахливий «монстр» у вигляді синусів, тангенсів … - навіщо його видумали та увели? Бо на практиці (в різних науках та професіях) порівняно дуже часто зустрічається, скажімо, співвідношення довжини протилежного (до гострого кута) катета прямокутного трикутника до довжини гіпотенузи (а це і є синусом щойно згаданого гострого кута!) чи відношення довжин двох катетів (а в одному з двох випадків це є тангенсом відповідного кута). Тому також «дружіть» і з тригонометричними функціями.
А потреба в «синусах» перегукується з необхідністю оперувати поняттям похідних (диференціальне числення). Це введене зовсім не для «забивання голів людей не потрібним баластом», а для того, що ті, хто стикнеться зі складними функціями, могли якомога краще описати нюанси поведінки цих функцій.
До речі: а кому потрібно прагнути «забивати голови» усім цим? Звісно, що це необхідно тим, хто буде стикатися з цими поняттями у житті (тобто якщо з цим пов'язані наука або професія конкретної людини). І тут викристалізовується ве-е-е-еличезна освітянська проблема: враховуючи те, що така потреба володіти цими поняттями буде у ліченого на пальцях однієї руки відсотка кількості людей - а навіщо тоді школа примушує це вчити («зубрити») всіх-всіх (100%) учнів? Запитання, на жаль, риторичне та непосильне для розв’язання сучасною освітою.
До речі: а кому потрібно «забивати голови» усім цим? Звісно, що це необхідно тим, хто буде стикатися з цими поняттями у житті (тобто якщо з ними пов'язані наука або професія конкретної людини). І тут викристалізовується ве-е-е-еличезна освітянська проблема: враховуючи те, що така потреба буде у ліченого на пальцях однієї руки відсотка кількості людей - а навіщо тоді школа примушує це вчити («зубрити») всіх-всіх (100%) учнів? Запитання, на жаль, риторичне та непосильне для розв’язання сучасною освітою.
