Что такое формулы сокращенного умножения и почему они важны?

07.05.2024

Статьи автора: 125

Что такое формулы сокращенного умножения и почему они важны?

Формулы сокращенного умножения – это своеобразный алгебраический лайфхак, позволяющий школьнику или взрослому человеку легко упростить сложные выражения и не тратить много времени на решение таких примеров. Знание этих формул также важно для готовящихся к НМТ школьников. Эта статья поможет вам разобраться в основных формулах сокращенного умножения, научиться их применять или вспомнить основные сведения по этой теме.

Формулы сокращенного умножения: практическое значение

Формулы сокращенного умножения – это алгебраические уравнения, которые позволяют быстро выполнять умножение и подъем к степени выражений. Они упрощают процесс вычислений и помогают находить результат быстрее, чем используя стандартные методы умножения.

Формулы сокращенного умножения облегчают работу с квадратными и кубическими уравнениями, а также с полиномами. И хоть их изучают в 7 классе, важно не забывать о них и в старших классах. Их знание необходимо для успешной сдачи НМТ, поскольку они часто используются в тестовых задачах.

Основные формулы сокращенного умножения

Рассмотрим основные формулы сокращенного умножения.

Квадрат суммы: (a+b)2=а2+2ab+b2

(а+б)2=а2+2ab+b2 – это формула квадрата суммы. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.

Чтобы понять, как одно выражение превратилось в другое, рассмотрим следующее:

(а+b)2=(a+b)(a+b)=a*a+a*b+b*a+b*b=a2+а*b+а*+b2=а2+2ab+b2

Чтобы не выполнять такое количество расчетов, достаточно выучить формулу квадрата сумму и применять ее в простых и сложных задачах.

Решим несколько примеров.

Условие примера или задачи

Решение

(3+4)2"="

(3+4)2=32+2*3*4+42=9+24+16=49

(х+3у)2=

x2+2x3y+(3y)2= х2+6xy+9y2

(х+4)2"="

x2+8x+16

Квадрат разницы: (a-b)2=a2-2аb+b2

(а-b)2=a2-2аb+b2 – это формула квадрата разницы. Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.

Чтобы понять, как одно выражение превратилось в другое, рассмотрим следующее:

а2-b2=(a-b)(a+b)=a*a+a*(-b)-b*a-b*(-b)=a2-а*b-а*b+b2=a2–2аb+b2

Решим несколько примеров:

Условие примера или задачи

Решение

(5–2)2=

(5–2)2=52–2*5*2+22=25–20+4=9

(5–4d)2=

52–2*5*4d+(4d)2=25–40d+16d2

Вычислите значение выражения(5а-3b)2, если a=2, b=2.

5а2–2*5а*3b+3b2=25а2–30ab+9b2=25*22–30*2*2+9*22=25*4–120+9*4=100–120+36=-20+36=16

Разница квадратов: a2-b2=(а-b)(а+b)

а2-b2=(a-b)(a+b) – это формула разности квадратов. Разница квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел, умноженному на их разницу.

Чтобы понять, как одно выражение превратилось в другое, рассмотрим следующее:

(a-b)(a+b)=a*a+a*(-b)+b*a+b*(-b)=a2-а*b+а*b-b2=а2-b2.

Решим несколько примеров:

Условие примера или задачи

Решение

72–32=

72–32=(7–3)(7+3)= 4*10 = 40

(3z+2)*(3z-2)=

3z2–22=9z2–4

Упростите выражение: 169-а2=

169-а2=132-а2=(13-а)(13+а)

Разбейте на множители: 16a2–49b2=

16а2–49b2=(4а-7b)(4а+7b)

Куб суммы: (a+b)3 = а3+3а2b+3аb2+b3

(а+b)3 = а3+3а2b+3аb2+b3 – формула куба суммы.

Чтобы понять, как одно выражение превратилось в другое, рассмотрим следующее:

(а+b)3 = (a+b)*(a+b)*(a+b)=(a+b)*(a2+2ab+b2)= а*(а2+2ab+b2)+b(а2+2ab+b2)=а3+2а2b+аb2+а2b+2аb2+b3=а3+3а2b+3аb2+b3

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, добавленному к утроенному произведению квадрата первого числа на второе число, добавленному к утроенному произведению первого числа на квадрат второго числа, добавленному к кубу второго числа.

Решим несколько примеров:

Условие примера или задачи

Решение

(2+1)3=

(2 + 1)3 = 23 + 3*22*1 + 3*2*12 + 13 = 8 + 12 + 6 + 1 = 27

(2+х)3=

(2 + х)3 = 23 + 3*22*х + 3*2x2 +х3 = 8 + 12х + 6х2 + х3

Куб разницы: (а-b)3 = а3-3а2b+3аb2-b3

(а-b)3 = а3-3а2b+3аb2-b3 – это формула куба разницы. Чтобы понять, как одно выражение превратилось в другое, рассмотрим следующее:

(а-b)3 = (a-b)*(a-b)*(a-b) = (a-b)*(a2–2аb+b2) = а*(а2–2аb+b2)-b*(a2–2аb+b2) = а3–2а2б+аb2-а2b+2аb2-b3 = а3–3а2b+3аb2-b3.

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, из которого вычитается утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, добавленное к утроенному произведению первого числа на квадрат второго числа, из которого вычитается куб второго числа.

Чтобы найти куб разницы двух чисел, необходимо:

  1. Найти куб первого числа.
  2. Вычесть утроенное произведение квадрата первого числа на второе число.
  3. Добавить утроенное произведение первого числа на квадрат второго числа.
  4. Вычесть куб второго числа.

Решим несколько примеров:

Условие примера или задачи

Решение

(4 – 1)3=

(4 – 1)3 = 43 –3*42*1 + 3*4*12 –13 = 64 – 48 + 12 – 1 = 27

(a – 4)3=

(a – 4)3= a3 –3a2*4 + 3a*42 –43= a3 –12a2+ 48a – 64

Сумма кубов: a3+b3=(а+b)(а2-ab+b2)

а3+b3=(а+b)(а2-ab+b2) – это формула суммы кубов.

Чтобы проверить, на самом ли деле правильная формула, рассмотрим следующее:

(а+b)(а2-ab+b2) = а*(а2-ab+b2)+b*(а2-ab+b2) = а3-а2b+аb2+а2b-аb2+b3 = a3+b3.

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел, умноженному на квадрат первого числа минус произведение первого числа на второе число, и прибавить квадрат второго числа.

Чтобы найти сумму кубов двух чисел, необходимо:

  1. Найти сумму двух чисел.
  2. Найти квадрат первого числа.
  3. Найти произведение первого числа на второе.
  4. Найти квадрат второго числа.
  5. Найти разницу квадрата первого числа и произведение первого числа во второе, и добавить квадрат второго числа.
  6. Умножить сумму двух чисел и найденную разницу.

Решим несколько примеров:

Условие примера или задачи

Решение

23 + 13=

23 + 13 = (2 + 1)(22 –2*1 + 12) = 3(4 – 2 + 1) = 3 * 3 = 9

(3+х)(9–3х+х2)=

(3+х)(9–3х+х2)=33+х3=27+х3

Разница кубов: a3-b3=(а-b)(а2+ab+b2)

а3 -b3 = (а – b)(а2 + b + b2) – это формула разности кубов. Чтобы проверить, на самом ли деле правильная формула, рассмотрим следующее:

(а – b)(а2 + b + b2)=а*(а2+аb+b2)-b*(а2+аb+b2) = а3+а2b+аb2-а2b-аb2-b3 = а3-b3

Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на сумму квадрата первого числа, добавленного к произведению первого числа на второе число, и добавленного квадрата второго числа.

Решим несколько примеров:

Условие примера или задачи

Решение

53 –33=

53 -33 = (5 - 3)(52 + 5*3 + 32) = 2*(25 + 15 + 9) = 2 * 49 = 98

Упростите выражение: (z-2)(z2-2z+4)=

(z-2)(z2-2z+4)=z3-23=z3-8

Упростите выражение: (а-2)(а2+2а+4)=

(а-2)(а2+2а+4)=(а)3-(2)3= а3-8

Формулы сокращенного умножения: практические задания

Вот еще несколько заданий для закрепления материала.

  1. Решите (x+5)2 с помощью формулы сокращенного умножения.

Решение: (x+5)2= х2+2*5+52= х2+10х+25.

  1. Решите (92–42) с помощью формулы сокращенного умножения.

Решение: (92–42)=(9–4)(9+4)=5*13=65.

  1. Решите: (2+3)2+(5–2)2.

Решение: (2+3)2+(5–2)2=52+32=25+9=34.

  1. Упростите выражение: (2𝑦-3)2

Решение:(2y-3)2=(2y)2–2*2y*3+32=4y2-12y+9.

  1. Вычислите значение выражения (а+b)2 -(а-b)2.

Решение: (a+b)2-(а-b)2=(а2+2аb+b2)-(а2-2аb+b2) = 4аb.

  1. Найдите значение выражения (а+6)2, если а=2.

Решение: (а+6)2=а2+12а+36=22+12*2+36=64.

  1. Найдите значение выражения (2а+3)2–4а, если а=2.

Решение: (2a+3)2–4а=(2а)2+2*2а*3+32–4а=4а2+12а+9–4а=4*22+12*2+9–4*2=4*4+24+9–8=41

Формулы сокращенного умножения являются необходимыми инструментами для быстрого и эффективного решения заданий по алгебре. Их понимание и использование значительно упрощает процесс подготовки к НМТ. Регулярная практика и повторение помогут закрепить эти знания. Найти практические упражнения и тесты можно на образовательных сайтах для подготовки к НМТ.

Также помочь подготовиться к тестированию может репетитор по математике. Он разработает индивидуальный план подготовки, с учетом ваших пожеланий и времени, оставшееся до дня Х.

Найти репетитора для текущего изучения дисциплин или подготовки к экзаменам можно на сайте BUKI.

Понравилась статья? Оцените

5

На основе отзывов 1 пользователей

Автор Олена Б.

У 2019 році закінчила магістратуру філологічного факультету Донецького Національного Університету імені Василя Стуса. Співпрацювала з міжнародними компаніями, пишу інформаційні статті

Статьи автора: 125

Подобрать репетитора

Рейтинг вишів України за спеціальностями 2024

Что такое сокращенное умножение?

Формулы сокращенного умножения – это алгебраические уравнения, которые позволяют быстро выполнять умножение и подъем к степени выражений.Читайте больше на BUKI

Какие формулы сокращенного умножения нужно знать?

(а+б)2=а2+2ab+b2 – это формула квадрата суммы. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа. Читайте больше на BUKI

Как найти разницу квадратов?

(а-b)2=a2-2аb+b2 – это формула квадрата разницы. Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа. Читайте больше на BUKI

Как посчитать квадрат суммы?

(а+б)2=а2+2ab+b2 – это формула квадрата суммы. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа. Читайте больше на BUKI

Другие новости:

BUKI

Платформа, объединяющая репетиторов и учащихся

Создать профиль репетитора

Экспертные статьи от репетиторов