Формулы сокращенного умножения – это своеобразный алгебраический лайфхак, позволяющий школьнику или взрослому человеку легко упростить сложные выражения и не тратить много времени на решение таких примеров. Знание этих формул также важно для готовящихся к НМТ школьников. Эта статья поможет вам разобраться в основных формулах сокращенного умножения, научиться их применять или вспомнить основные сведения по этой теме.
Формулы сокращенного умножения: практическое значение
Формулы сокращенного умножения – это алгебраические уравнения, которые позволяют быстро выполнять умножение и подъем к степени выражений. Они упрощают процесс вычислений и помогают находить результат быстрее, чем используя стандартные методы умножения.
Формулы сокращенного умножения облегчают работу с квадратными и кубическими уравнениями, а также с полиномами. И хоть их изучают в 7 классе, важно не забывать о них и в старших классах. Их знание необходимо для успешной сдачи НМТ, поскольку они часто используются в тестовых задачах.
Основные формулы сокращенного умножения
Рассмотрим основные формулы сокращенного умножения.
Квадрат суммы: (a+b)2=а2+2ab+b2
(а+б)2=а2+2ab+b2 – это формула квадрата суммы. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.
Чтобы понять, как одно выражение превратилось в другое, рассмотрим следующее:
(а+b)2=(a+b)(a+b)=a*a+a*b+b*a+b*b=a2+а*b+а*+b2=а2+2ab+b2
Чтобы не выполнять такое количество расчетов, достаточно выучить формулу квадрата сумму и применять ее в простых и сложных задачах.
Решим несколько примеров.
|
Условие примера или задачи |
Решение |
|
(3+4)2"=" |
(3+4)2=32+2*3*4+42=9+24+16=49 |
|
(х+3у)2= |
x2+2x3y+(3y)2= х2+6xy+9y2 |
|
(х+4)2"=" |
x2+8x+16 |
Квадрат разницы: (a-b)2=a2-2аb+b2
(а-b)2=a2-2аb+b2 – это формула квадрата разницы. Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.
Чтобы понять, как одно выражение превратилось в другое, рассмотрим следующее:
а2-b2=(a-b)(a+b)=a*a+a*(-b)-b*a-b*(-b)=a2-а*b-а*b+b2=a2–2аb+b2
Решим несколько примеров:
|
Условие примера или задачи |
Решение |
|
(5–2)2= |
(5–2)2=52–2*5*2+22=25–20+4=9 |
|
(5–4d)2= |
52–2*5*4d+(4d)2=25–40d+16d2 |
|
Вычислите значение выражения(5а-3b)2, если a=2, b=2. |
5а2–2*5а*3b+3b2=25а2–30ab+9b2=25*22–30*2*2+9*22=25*4–120+9*4=100–120+36=-20+36=16 |
Разница квадратов: a2-b2=(а-b)(а+b)
а2-b2=(a-b)(a+b) – это формула разности квадратов. Разница квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел, умноженному на их разницу.
Чтобы понять, как одно выражение превратилось в другое, рассмотрим следующее:
(a-b)(a+b)=a*a+a*(-b)+b*a+b*(-b)=a2-а*b+а*b-b2=а2-b2.
Решим несколько примеров:
|
Условие примера или задачи |
Решение |
|
72–32= |
72–32=(7–3)(7+3)= 4*10 = 40 |
|
(3z+2)*(3z-2)= |
3z2–22=9z2–4 |
|
Упростите выражение: 169-а2= |
169-а2=132-а2=(13-а)(13+а) |
|
Разбейте на множители: 16a2–49b2= |
16а2–49b2=(4а-7b)(4а+7b) |
Куб суммы: (a+b)3 = а3+3а2b+3аb2+b3
(а+b)3 = а3+3а2b+3аb2+b3 – формула куба суммы.
Чтобы понять, как одно выражение превратилось в другое, рассмотрим следующее:
(а+b)3 = (a+b)*(a+b)*(a+b)=(a+b)*(a2+2ab+b2)= а*(а2+2ab+b2)+b(а2+2ab+b2)=а3+2а2b+аb2+а2b+2аb2+b3=а3+3а2b+3аb2+b3
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, добавленному к утроенному произведению квадрата первого числа на второе число, добавленному к утроенному произведению первого числа на квадрат второго числа, добавленному к кубу второго числа.
Решим несколько примеров:
|
Условие примера или задачи |
Решение |
|
(2+1)3= |
(2 + 1)3 = 23 + 3*22*1 + 3*2*12 + 13 = 8 + 12 + 6 + 1 = 27 |
|
(2+х)3= |
(2 + х)3 = 23 + 3*22*х + 3*2x2 +х3 = 8 + 12х + 6х2 + х3 |
Куб разницы: (а-b)3 = а3-3а2b+3аb2-b3
(а-b)3 = а3-3а2b+3аb2-b3 – это формула куба разницы. Чтобы понять, как одно выражение превратилось в другое, рассмотрим следующее:
(а-b)3 = (a-b)*(a-b)*(a-b) = (a-b)*(a2–2аb+b2) = а*(а2–2аb+b2)-b*(a2–2аb+b2) = а3–2а2б+аb2-а2b+2аb2-b3 = а3–3а2b+3аb2-b3.
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, из которого вычитается утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, добавленное к утроенному произведению первого числа на квадрат второго числа, из которого вычитается куб второго числа.
Чтобы найти куб разницы двух чисел, необходимо:
- Найти куб первого числа.
- Вычесть утроенное произведение квадрата первого числа на второе число.
- Добавить утроенное произведение первого числа на квадрат второго числа.
- Вычесть куб второго числа.
Решим несколько примеров:
|
Условие примера или задачи |
Решение |
|
(4 – 1)3= |
(4 – 1)3 = 43 –3*42*1 + 3*4*12 –13 = 64 – 48 + 12 – 1 = 27 |
|
(a – 4)3= |
(a – 4)3= a3 –3a2*4 + 3a*42 –43= a3 –12a2+ 48a – 64 |
Сумма кубов: a3+b3=(а+b)(а2-ab+b2)
а3+b3=(а+b)(а2-ab+b2) – это формула суммы кубов.
Чтобы проверить, на самом ли деле правильная формула, рассмотрим следующее:
(а+b)(а2-ab+b2) = а*(а2-ab+b2)+b*(а2-ab+b2) = а3-а2b+аb2+а2b-аb2+b3 = a3+b3.
Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел, умноженному на квадрат первого числа минус произведение первого числа на второе число, и прибавить квадрат второго числа.
Чтобы найти сумму кубов двух чисел, необходимо:
- Найти сумму двух чисел.
- Найти квадрат первого числа.
- Найти произведение первого числа на второе.
- Найти квадрат второго числа.
- Найти разницу квадрата первого числа и произведение первого числа во второе, и добавить квадрат второго числа.
- Умножить сумму двух чисел и найденную разницу.
Решим несколько примеров:
|
Условие примера или задачи |
Решение |
|
23 + 13= |
23 + 13 = (2 + 1)(22 –2*1 + 12) = 3(4 – 2 + 1) = 3 * 3 = 9 |
|
(3+х)(9–3х+х2)= |
(3+х)(9–3х+х2)=33+х3=27+х3 |
Разница кубов: a3-b3=(а-b)(а2+ab+b2)
а3 -b3 = (а – b)(а2 + b + b2) – это формула разности кубов. Чтобы проверить, на самом ли деле правильная формула, рассмотрим следующее:
(а – b)(а2 + b + b2)=а*(а2+аb+b2)-b*(а2+аb+b2) = а3+а2b+аb2-а2b-аb2-b3 = а3-b3
Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на сумму квадрата первого числа, добавленного к произведению первого числа на второе число, и добавленного квадрата второго числа.
Решим несколько примеров:
|
Условие примера или задачи |
Решение |
|
53 –33= |
53 -33 = (5 - 3)(52 + 5*3 + 32) = 2*(25 + 15 + 9) = 2 * 49 = 98 |
|
Упростите выражение: (z-2)(z2-2z+4)= |
(z-2)(z2-2z+4)=z3-23=z3-8 |
|
Упростите выражение: (а-2)(а2+2а+4)= |
(а-2)(а2+2а+4)=(а)3-(2)3= а3-8 |
Формулы сокращенного умножения: практические задания
Вот еще несколько заданий для закрепления материала.
- Решите (x+5)2 с помощью формулы сокращенного умножения.
Решение: (x+5)2= х2+2*5+52= х2+10х+25.
- Решите (92–42) с помощью формулы сокращенного умножения.
Решение: (92–42)=(9–4)(9+4)=5*13=65.
- Решите: (2+3)2+(5–2)2.
Решение: (2+3)2+(5–2)2=52+32=25+9=34.
- Упростите выражение: (2𝑦-3)2
Решение:(2y-3)2=(2y)2–2*2y*3+32=4y2-12y+9.
- Вычислите значение выражения (а+b)2 -(а-b)2.
Решение: (a+b)2-(а-b)2=(а2+2аb+b2)-(а2-2аb+b2) = 4аb.
- Найдите значение выражения (а+6)2, если а=2.
Решение: (а+6)2=а2+12а+36=22+12*2+36=64.
- Найдите значение выражения (2а+3)2–4а, если а=2.
Решение: (2a+3)2–4а=(2а)2+2*2а*3+32–4а=4а2+12а+9–4а=4*22+12*2+9–4*2=4*4+24+9–8=41
Формулы сокращенного умножения являются необходимыми инструментами для быстрого и эффективного решения заданий по алгебре. Их понимание и использование значительно упрощает процесс подготовки к НМТ. Регулярная практика и повторение помогут закрепить эти знания. Найти практические упражнения и тесты можно на образовательных сайтах для подготовки к НМТ.
Также помочь подготовиться к тестированию может репетитор по математике. Он разработает индивидуальный план подготовки, с учетом ваших пожеланий и времени, оставшееся до дня Х.
Найти репетитора для текущего изучения дисциплин или подготовки к экзаменам можно на сайте BUKI.
