Тема квадратних рівнянь вивчається на уроках алгебри у 8 класі. Вона може виявитися досить складною не лише для тих учнів, які мають прогалини у знанні математики. Але це фундамент для багатьох інших тем з алгебри. Зокрема, цей тип рівнянь використовується у розв’язуванні тригонометричних, логарифмічних, показникових рівнянь та нерівностей.
Далі ви знайдете відповіді на чимало запитань з теми та навчитеся, як розв'язати рівняння за допомогою різних методів.
Що таке квадратне рівняння?
Це тип рівнянь, що мають формат ax2+ bx +c = 0, де a, b і с – дійсні числа; х – змінна; х1 та х2 – корені рівняння. При цьому важлива умова а ≠ 0.
Якщо точніше:
- а – це перший, або старший, коефіцієнт
- b – другий коефіцієнт
- с – вільний член
Мета розв’язку – знайти усі корені рівняння або показати, що таких коренів немає. Під коренем мається на увазі значення змінної х, за якого остаточний результат квадратного тричлена буде дорівнювати нулю.
До речі, квадратні рівняння відомі з 2000 року до н. е. У древньому Вавилоні це був спосіб вимірювання земельних ділянок, розрахунків для будівництв та астрономічних досліджень.
Сучасні методи та алгоритми розв’язання цих рівнянь за допомогою знаходження коренів запропонували перський математик Мухаммад аль-Хорезмі та індійський вчений Брахмагупта. А узагальнив ці методи в одному правилі німецький дослідник Міхаель Штифель у 1544 році.
Розглянемо квадратне рівняння на прикладі 7x2+ 4x +1 = 0. Це рівняння має такі коефіцієнти: а = 7, b = 4, c = 1.
А ось у рівняннях:
6х2 – х + 4 = 0; а = 6, b = -1, c = 4;
х – 6х2 = 0; a = -6, b = 1, c = 0.
Якщо дитина має труднощі з цією темою чи іншими розділами математики, не гайте часу. Краще знайти для неї хорошого репетитора. На платформі BUKI ви завжди можете підібрати кваліфікованого фахівця за потрібними вам критеріями.
Види квадратних рівнянь
Розрізняють 2 типи рівнянь:
- повні та неповні
- зведені та незведені
Повні рівняння містять 3 дійсні числа a, b і с, причому b і с відмінні від 0. Коефіцієнт а обов’язковий. У неповних квадратних рівняннях принаймні одне з дійсних чисел – b або с – дорівнює нулю. Приклад неповного рівняння: - х + х2 = 15. У цьому рівнянні відсутнє дійсне число с.
Зведене квадратне рівняння – це рівняння, у якому коефіцієнт а дорівнює 1. Наприклад, x2 − 3x + 2 = 0. Відповідно, у незведеному рівнянні коефіцієнт а має значення більше, ніж 1. Зразок незведеного рівняння: 6х2 – х + 4 = 0.
Як розв'язувати квадратні рівняння?
Загалом існує понад 10 способів розв’язання рівнянь такого типу. Але ми розглянемо 4 найбільш поширені.
- Перший спосіб – використання формули дискримінанта, тобто спеціального виразу, що потрібний для пошуку коренів квадратних рівнянь.
Усі необхідні формули представлені на зображенні.
Перша формула з третього пункту використовується, якщо D > 0. Тоді рівняння має два різні корені. Другу формулу застосовуємо, якщо дискримінант дорівнює 0. Тоді рівняння має один корінь. І за умови D < 0 рівняння не має коренів.
- Другий спосіб – розв’язування за теоремою Вієта, яка була сформульована ще у 1591 році. Використовується лише для зведених квадратних рівнянь.
Якщо зведене рівняння x2+px+q=0 має дійсні корені, то їх сума дорівнює -p, а добуток дорівнює q, тобто:
x1 + x2 = -p,
x1 x2 = q.
- Третій спосіб – розкладання на множники. Як знайти корінь рівняння за допомогою цього методу:
- Винести за дужки спільний множник
- Застосувати формули скороченого множення
- Використати метод групування
За такого способу ми трансформуємо квадратне рівняння в рівняння А(х)·В(х)=0.
- Четвертий спосіб – виділення повного квадрата. У цьому випадку розв’язання квадратних рівнянь приклади формул:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 – 2ab + b2
Спочатку нам треба перетворити рівняння у зведене. Потім перенести вільний член. Далі додаємо і віднімаємо квадрат половини коефіцієнта при x. Ліву частину записуємо як квадрат двочлена та розв’язуємо отримане рівняння.
Квадратні рівняння: приклади розв'язування
Приклад 1. Розв’язання через дискримінант з детальним описом формул коренів квадратного рівняння.
Приклад 2. Розв’язання рівняння за теоремою Вієта.
x2 − 5x + 6 = 0.
b = -5, c = 6.
Тепер треба знайти два числа, які:
- у сумі дають 5
- у добутку дають 6
Такі числа – це 2 і 3, оскільки:
2 + 3 = 5, 2 ⋅ 3 = 6.
Отже, корені рівняння: х1 = 2 х2 = 3.
Приклад 3. Розв’язання рівняння 4х2 + 5х + 1 = 0 методом розкладання на множники.
Метод групування базується на тому, що середній член 5x можна розкласти на два доданки так, щоб:
- їх сума дорівнювала 5x
- їх добуток дорівнював добутку крайніх коефіцієнтів: 4 ⋅ 1 = 4
Шукаємо такі числа: 4x та x, оскільки: 4х + х = 5х, 4х ⋅ х = 4х2.
Тепер наше рівняння виглядає так: 4x2 + 4x + x + 1 = 0.
Групуємо члени попарно та виносимо спільні множники:
(4x2 + 4x) + (x + 1) = 0
4x (x+1) + 1 (x+1) = 0
(4x + 1) (x + 1) = 0
- 4x + 1 = 0, x = -1/4
- х + 1 = 0, x = -1
Приклад 4. Розв’язання рівняння х2 + 6х – 7 = 0 способом виділення повного квадрата.
(х +3)2 – 16 = 0
(х +3)2 = 16
х + 3 = 4; х + 3 = -4
х = 1, х = -7
Відповідь: 1; -7.
Ви ознайомилися лише з кількома прикладами. Але щоб зрозуміти цю тему глибше, слід виконувати багато практичних завдань. Краще робити це під наглядом репетитора, коли педагог може відразу вказати на помилки та пояснити незрозумілі моменти.
